Por qué $av$ es integral sobre $k[Y\times \mathbb{A}^r]$

Question

Estoy leyendo el libro de Shafarevich Geometría Algebraica Básica 1(Tercera Edición) . Me encontré con algunos problemas cuando leí la prueba del Teorema1.14 en la página 62. El teorema es

Teorema 1.14 Si $f:X\to Y$ es un mapa regular y $f(X)$ es denso en $Y$ entonces $f(X)$ contiene un conjunto abierto de $Y$ .

La prueba supone que $X$ es irreducible y afín, $r$ es el grado de trascendencia de la extensión del campo $k(X)/k(Y)$ . Elija $r$ elementos $u_1, \dots, u_r\in k[X]$ que son algebraicamente independientes sobre $K(Y)$ . Entonces $$K[X]\supset k[Y][u_1,\dots,u_r]\supset k[Y] \quad\text{and}\quad k[Y][u_1.\dots,u_r]=k[Y\times\mathbb{A}^r].$$

En la séptima línea de la página 63, dice:

Cualquier elemento $v\in k[X]$ es algebraico sobre $k[Y\times \mathbb{A}^r]$ por lo que existe un elemento $a\in k[Y\times \mathbb{A}^r]$ tal que $av$ es integral sobre $k[Y\times \mathbb{A}^r]$ .

No sé cómo demostrar esta afirmación.

Answer 1

Eso es un hecho general, vamos a demostrarlo:

Que sea $R$ un dominio, $K=q.f(R)$ y que sea $L$ una extensión finita y algebraica sobre $K$ . Entonces:

i) $\forall v\in L$ $\exists$ $a\in R-\{0\}:$ $av$ es integral sobre $R$ .

ii) Existe una base de $L$ en $K$ tales que sus elementos son integrales sobre $R$ .

Prueba de i)

Que sea $v\in L$ tenemos $L/K$ es algebraico entonces existe $a_n,\ldots,a_1,a_0\in K$ tal que $$a_nv^{n}+a_{n-1}v^{n-1}+\cdots+a_1v+a_0=0$$ Tenemos $K=q.f(R)$ así que $$\forall\hspace{0.05cm}i\in\{0,1\ldots,n\}\hspace{0.05cm} \exists\hspace{0.05cm}b_i\in R,c_i\in R-\{0\}: a_i=\frac{b_i}{c_i}$$ Que sea $\gamma:=\prod_{i=0}^{n}c_i$ , $\gamma_j=\prod_{0\leq i\leq n,i\neq j}c_i$ y $r_j:=\gamma_{j}b_{j}\in R$ entonces $$a_nv^{n}+a_{n-1}v^{n-1}+\cdots+a_1v+a_0=0 \Rightarrow \gamma_{n}b_nv^{n}+\gamma_{n-1}b_{n-1}v^{n-1}+\cdots+\gamma_{1}b_1v+\gamma_{0}b_0=0\Rightarrow$$ $$r_nv^{n}+r_{n-1}v^{n-1}+\cdots+r_1v+r_0=0$$ Ahora multiplicamos por $r_n^{n-1}$ la última expresión : $$0=r_n^{n-1}r_nv^{n}+r_n^{n-1}r_{n-1}v^{n-1}+\cdots+r_n^{n-1}r_1v+r_n^{n-1}r_0=$$ $$(r_nv)^n + r_{n-1}(r_nv)^{n-1}+\cdots+r_1r_n^{n-2}(r_nv)+r_{n}^{n-1}r_0$$ Así, el polinomio $P(x) = x^n + r_{n-1}x^{n-1}+\cdots+r_1r_n^{n-2}x+r_{n}^{n-1}r_0$ tiene un cero en $r_nv$ es mónico y pertenece a $R[X]$ Así que $r_nv$ es integral sobre $R$

Prueba de ii):

Tenemos $L/K$ es finito entonces $$m:=[L:K]=dim_{K}(L)<\infty$$ Por lo tanto, existe $\{v_1,\ldots,v_m\}$ base de $L$ . Si utilizamos i) tenemos $\forall\hspace{0.05cm}i\in\{1\ldots,m\}\hspace{0.05cm} \exists\hspace{0.05cm}a_i\in R-\{0\}$ tal que $a_iv_i$ es integral sobre $R$ . Tenemos que mostrar $\{a_1v_1,\ldots,a_mv_m\}$ es linealmente independiente sobre $K$ :

Que sea $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in K$ tal que $$\sum_{i=1}^{m}\lambda_i(a_iv_i)=0$$ Ahora usamos $\{v_1,\ldots,v_m\}$ es linealmente independiente: $$0=\sum_{i=1}^{m}\lambda_i(a_iv_i) = \sum_{i=1}^{m}(\lambda_ia_i)v_i \Rightarrow 0=\lambda_ia_i\hspace{0.15cm}\forall\hspace{0.05cm}i\in\{1\ldots,m\}$$ Tenemos $a_i\neq 0$ para todos $i\in\{1\ldots,m\}$ entonces $\lambda_i=0$ para todos $i\in\{1\ldots,m\}$ . Así, $\{a_1v_1,\ldots,a_mv_m\}\subset L$ es linealmente independiente de $K$ y el conjunto $\{a_1v_1,\ldots,a_mv_m\}$ es una base porque $m=dim_K(L))$ .