Integrar $e^{f(x)}$

Question

Sólo me pregunto cómo puedo integrar $\displaystyle xe^{ \large {-x^2/(2\sigma^2)}}$

Intenté usar la sustitución donde $U(x) = x^2$ pero seguía recibiendo un $x^2$ en el denominador que es incorrecto.

Entiendo que $\displaystyle \int e^{f(x)} = e^{\large \frac{f(x)}{f'(x)}}$ si $f(x)$ es lineal, sin embargo, ¿cómo manejamos esta situación cuando $f(x)$ no es lineal?

La respuesta paso a paso será impresionante!!!! gracias :D

M

Answer 1

Un pariente cercano de su sustitución, a saber $u=-\dfrac{x^2}{2\sigma^2}$ funciona.

En notación "diferencial", obtenemos $du=-\frac{1}{\sigma^2} x\,dx$ Así que $x\,dx=-\sigma^2\,du$ .

Observación: O más informalmente, supongamos que la respuesta es $e^{-x^2/(2\sigma^2)}$ . Diferenciamos, utilizando la Regla de la Cadena. Obtenemos $-\frac{x}{\sigma^2}e^{-x^2/(2\sigma^2)}$ por lo que se equivoca al adivinar. Qué pena.

Pero nos acercamos, y hay una solución fácil multiplicando por una constante adecuada para deshacerse del $-\frac{1}{\sigma^2}$ frente a la derivada de nuestra suposición errónea. La integral indefinida es $-\sigma^2e^{-x^2/(2\sigma^2)}+C$ .

Answer 2

$$\int{xe^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}dx}$$

Dejemos que $u=x^2$ . Entonces $\frac{du}{2}=xdx$ .

$$\frac{1}{2}\int{e^\frac{-u}{2\sigma^2}}dx=-\sigma^2e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}$$