Límite de una suma $\lim_{n \to \infty }\sum_{r=1}^{n}{\frac{1}{(n+r)(n+2r)}}$

Question

Necesito ayuda para evaluar este problema: $\lim_{n \to \infty }\sum_{r=1}^{n}{\frac{1}{(n+r)(n+2r)}}$ .

He intentado convertirlo en la forma $\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}\sum_{r=1}^{n}{f\left(\frac{r}{n}\right)}$ para convertirla en una integral definida, pero no parece ser convertible a esa forma.

Es la respuesta $0$ porque cada término se evalúa a cero si aplicamos el límite $ n \to \infty $ ?

La respuesta dada en el libro donde lo encontré es $ln(1.5)$ pero esa respuesta vendrá si hay una $n$ en el numerador de cada término. Por lo tanto, no estoy seguro de si es un error de imprenta o hay algún otro método que desconozco.

Answer 1

\begin{align} \sum_{r=1}^{n}{\frac{1}{(n+r)(n+2r)}} &<\sum_{r=1}^{n}\frac 1{n^2}\\ &=\frac 1n\\ &\xrightarrow{n\to\infty}0 \end{align}

Por otro lado \begin{align} \sum_{r=1}^{n}{\frac{n}{(n+r)(n+2r)}} &=\sum_{r=1}^{n}\frac 1{(1+\frac rn)(1+2\frac rn)}\frac 1n\\ &=\int_0^1\frac{\mathrm dx}{(1+x)(1+2x)}\\ &=\log\left(\frac 32\right) \end{align} de ahí que haya una errata en su libro.

Answer 2

La respuesta es, efectivamente, cero. Dejemos que $$ f(x)=\frac{1}{(1+x)(1+2x)} $$ para que $\int_0^1 f(x)\, \mathrm{d}x=\ln(3/2)$ . Ahora, para demostrar que su límite es cero, utilice la regla $$ \lim_{n\to\infty}\left[f(x)\cdot g(x)\right]= \left(\lim_{n\to\infty} f(x)\right)\cdot\left(\lim_{n\to\infty} g(x)\right) $$ siempre que existan los dos límites del lado derecho:

$$ \lim=\lim_{n\to\infty}\left[\left(\frac{1}{n}\right)\cdot\left(\frac{1}{n}\sum_{r=1}^nf\left(\frac{r}{n}\right)\right)\right]=0\cdot\ln(3/2)=0. $$

Si su libro indica que la respuesta es $\ln(3/2)$ Entonces es probable que haya un error de imprenta en el problema o en la respuesta. Desgraciadamente, los errores de imprenta en los libros de texto (incluso en los de matemáticas) son frecuentes. Bien visto.