Encontrar el valor de una integral que contiene $(\ln x)^2$ en el denominador

Question

Mientras revisaba (como instructor/editor de pruebas) un examen de cálculo del segundo semestre, me encontré con el siguiente problema:

Hallar el volumen del sólido creado al girar alrededor del $x$ -eje el área bajo la curva $$y = \frac{1}{x\ln x}$$ a la derecha de la línea vertical $x=e$ .

Se trata de calcular la integral $$\pi \int_{e}^{\infty}\frac{1}{x^2(\ln x)^2}dx. $$

Por lo que veo, esta integral está muy por encima de un curso de cálculo de grado. Lo mejor que puedo hacer con ella es decir que la integral converge (prueba de comparación con la integral correspondiente de $\frac{1}{x^2}$ .)

¿Me estoy perdiendo una forma de resolver esta integral?

Answer 1

Tenemos la integral $I$ dado por

$$I=\pi\int_e^{\infty} \frac{1}{x^2(\log x)^2}\,dx$$

Hacer que se cumpla la sustitución $x\to e^x$ . Entonces tenemos

$$I=\pi\int_1^{\infty} \frac{e^{-x}}{x^2}\,dx$$

Ahora, la integración por partes revela

$$\begin{align} I&=\pi\left(-\left.\frac{e^{-x}}{x}\right|_{1}^{\infty}-\int_1^{\infty} \frac{e^{-x}}{x}\,dx\right)\\\\ &=\pi\left(e^{-1}-\int_1^{\infty}\frac{e^{-x}}{x}\,dx\right)\\\\ &=\pi/e+\pi \,\text{Ei}(-1) \end{align}$$

donde $\text{Ei}(x)$ es el Integral Exponencial

$$\text{Ei}(x)=-\int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,dt$$