Resuelve: $|-(x + 1)^2+1|\geq 1$

Question

He intentado resolver esta cuestión. ¿Puede alguien ayudarme? Conozco la respuesta pero me sigue saliendo mal. Gracias de antemano.

Encuentra todos los valores de x que satisfacen $|-(x + 1)^2+1|\geq 1$

Answer 1

$|x|\geq a\implies x\geq a$ o $x\leq -a$ Aquí, en su problema resulta, $1-(x+1)^2\geq 1\implies (x+1)^2\leq 0$ La única solución para la cual es $x=-1.$ Además, hay un segundo caso, $1-(x+1)^2\leq -1\implies (x+1)^2\geq 2\implies |x+1|\geq\sqrt 2\implies x\geq\sqrt 2-1$ o $x\leq -\sqrt2-1$ Por lo tanto, las posibles soluciones de $x$ son $\{-1\}\cup(-\infty,-\sqrt2-1]\cup[\sqrt2-1,\infty)$ .

Answer 2

Puede observar que $y=-(x+1)^2+1$ es una parábola con vértice en $(-1,1)$ y $a=-1$ . Entonces puedes dibujar su valor absoluto, y la línea $y=1$ .

Si se resuelve la ecuación $(x+1)^2-1=1$ encontrará las dos intersecciones que son, respectivamente, menores que $-2$ y más grande que $0$ (es decir, $-1\pm\sqrt2$ ).

Finalmente puedes escribir la solución: $x\le -1-\sqrt2 \vee x=-1 \vee x\ge-1+\sqrt2$ .

Answer 3

$|b-a|$ es la distancia entre $b$ y $a$ en la línea real. Así que busca $(x+1)^2 \leq 0 $ o $(x+1)^2\geq 2$ .

Answer 4

$$|-(x + 1)^2+1|\geq 1 >0$$

Como ambos lados de la desigualdad son positivos elevando al cuadrado la desigualdad obtenemos,

$$((x + 1)^2-1)^2 \geq 1 $$

$$\Leftrightarrow ((x + 1)^2-1)^2-1^2\geq 0 \tag {difference of squares} $$

$$\Leftrightarrow ((x + 1)^2-1-1)((x + 1)^2-1+1)\geq 0 $$

$$\Leftrightarrow ((x + 1)^2-2)(x+1)^2 \geq 0 \tag {with $ (x+1)^2>0 $ iff $ x \neq -1 $} $$

Por lo tanto,

Caso 1 $x = -1$

Entonces, $((x + 1)^2-2)(x+1)^2 =0 \geq 0$ según sea necesario

Caso 2 $x \neq -1$

Entonces $(x + 1)^2-2\geq 0$ (dividiendo la desigualdad por $(x + 1)^2>0$ )

$$\Leftrightarrow(x + 1- \sqrt{2})(x + 1+ \sqrt{2})\geq 0$$

$$ \Leftrightarrow x \leq -1-\sqrt{2} \ or \ x \geq -1+\sqrt{2}$$

Por lo tanto, la solución final es $$x \in (- \infty,-1-\sqrt{2} ] \cup \{-1 \} \cup [-1+\sqrt{2}, +\infty)$$

Answer 5

Un enfoque muy diferente a los ya dados es recordar que $|y| = \sqrt{y^2}$ . Así que tenemos que encontrar $x \in \mathbb{R}$ tal que

$$ \sqrt{\left(1-(x+1)^2\right)^2} \geq 1 $$

Elevando al cuadrado ambos lados se obtiene

$$ \left(1-(x+1)^2\right)^2 \geq 1 \quad \Longrightarrow \quad -2(x+1)^2 + (x+1)^4 \geq 0 $$

Si $x \neq -1$ (comprueba que también es una solución), podemos dividir ambos lados por $(x+1)^2$ y caen en una ecuación cuadrática que es fácil de resolver. Finalmente, el conjunto de soluciones es $$ \left\lbrace x \in \mathbb{R} \;|\; x \leq -1-\sqrt{2} \;\;\text{or}\;\; x=-1 \;\;\text{or}\;\; x \geq -1+\sqrt{2} \right\rbrace $$