¿Cuándo es el pullback de una holomorfa $(n,0)$ -por dicho mapa una holomorfa $(n, 0)$ -¿forma?

Question

Supongamos que tenemos dos variedades de Kähler $(M, w_1, J_1)$ y $(N, w_2,J_2)$ y un difeomorfismo $f:M \rightarrow N$ tal que $f$ preserva la estructura compleja y la forma simpléctica.

Si $\Omega$ es una holomorfa $(n,0)$ -formar en $N$ ¿Cuándo podemos decir que el retroceso de $\Omega$ es una holomorfa $(n,0)$ -formar en $M$ ?

Answer 1

Si $f : M \to N$ conserva la estructura compleja, es decir $df\circ J_1 = J_2\circ df$ entonces $f$ es un mapa holomorfo. Como los mapas holomorfos preservan el bidegree de una forma diferencial compleja, si $\alpha \in \mathcal{E}^{p,q}(N)$ , $f^*\alpha \in \mathcal{E}^{p,q}(M)$ . Además, $\bar{\partial}$ conmuta con el pullback por mapas holomorfos, es decir $\bar{\partial}(f^*\alpha) = f^*\bar{\partial}\alpha$ . Así que si $\alpha$ es una holomorfa $(p, 0)$ -formar en $N$ , $f^*\alpha$ es una holomorfa $(p, 0)$ -formar en $M$ .

Nótese que la conclusión no requiere que las estructuras complejas sean de Kähler, que el mapa preserve las formas simplécticas o que el mapa sea un difeomorfismo. Todo lo que se necesita es que el mapa sea holomorfo.