La desigualdad. $\frac{a}{(b+c)^4}+\frac{b}{(c+a)^4}+\frac{c}{(a+b)^4} \geq \frac{3}{2(a+b)(b+c)(c+a)}$

Question

Para $a,b,c >0$ demostrar que :

$$\frac{a}{(b+c)^4}+\frac{b}{(c+a)^4}+\frac{c}{(a+b)^4} \geq \frac{3}{2(a+b)(b+c)(c+a)}.$$

No sé cómo debo empezar. Me resulta difícil porque los denominadores tienen la potencia igual a 4, creo que debe disminuir el rango de la potencia.

danke :)

Answer 1

La desigualdad se puede escribir $$ X := \sum_{cyc} \frac {a(a + b)(a + c)}{(b + c)^3} \geq \frac 3 2 $$ Supongamos que $a \leq b \leq c$ . Tenemos $$ \frac 1 {b + c} \leq \frac 1 {a + c} \leq \frac 1 {a + b} \\ \frac {a(a + b)(a + c)} {(b + c)^2} \leq \frac {b(b + c)(b + a)} {(c + a)^2} \leq \frac {c(c + a)(c + b)} {(a + b)^2} $$ Aplicando la desigualdad de reordenación obtenemos $$ X \geq \sum_{cyc} \frac {a(a + b)}{(b + c)^2}=:Y $$ Reaplicando la desigualdad de reordenación y la desigualdad de Nesbitt llegamos a $$ Y \geq \sum_{cyc} \frac a {b + c} \geq \frac 3 2 $$