Dejemos que $A(z_{1})$ y $B(z_{2})$ sean las raíces de la ecuación $z^2+8(i-1)z+63-16i=0$ Encontrar el área de $\triangle OAB$ .

Question

Dejemos que $A(z_{1})$ y $B(z_{2})$ sean las raíces de la ecuación $$z^2+8(i-1)z+63-16i=0$$ Encontrar el área de $\triangle OAB$ .(donde $O\equiv (0,0)$ )

Mi intento:

Utilizando la fórmula cuadrática $$z=\frac{8(1-i)\pm \sqrt{64(i-1)^2-4(63-16i)}}{2}=3+4i,5-12i$$

Área del triángulo formado por la unión de los puntos $O(0,0)$ , $A(3,4)$ , $B(5,-12)$ se calcula fácilmente que es $28$ .

Pero me pregunto si hay algún método más limpio sin tener que calcular las raíces.

Answer 1

Que las raíces de $z^2 - a z + b=0$ sea $\{r_1,r_2\}$ . La suma de las raíces es $r_1+r_2=a$ y el producto de las raíces es $r_1r_2=b.$ El área del triángulo es $A=\frac{1}{2} \text{Im} \{r_1 \overline{r_2}\}$ . No veo, por el momento, ninguna forma rápida de conseguirlo.