Necesito ayuda para calcular una función inversa simple

Question

Una pregunta rápida.

$$y=\sqrt{2x-x^2}$$ Necesito la función inversa para algún otro problema, pero no la encuentro. ¿Podría indicarme los pasos para resolverlo?

Gracias

Answer 1

Tienes que especificar el dominio de tu función. Si sólo quiere $2x-x^2 \ge 0$ entonces se encontrará con que su función no es uno-a-uno y no tiene una inversa.

Puede restringir el dominio a $0 \le x \le 1$ y eso daría una función uno a uno. También se podría elegir el dominio $1 \le x \le 2$ para obtener una función uno a uno. De hecho, hay muchas otras, por ejemplo $\frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{2}$ .

Elijamos el dominio $0 \le x \le 1$ . Puedes ver que la función es uno a uno dibujando la gráfica o calculando la derivada y mostrando que siempre es no negativa. Si $0 \le x \le 1$ entonces $0 \le \sqrt{2x-x^2} \le 1$ da el rango.

A continuación, utilizamos el truco habitual: escribir $y=\sqrt{2x-x^2}$ y resolver para $x$ . Obtenemos $x = 1 \pm \sqrt{1-y^2}$ . Elegimos el dominio $0 \le x \le 1$ y así sabemos que cuando $x=0$ , $y=0$ . Esto nos dice que tenemos que elegir $x=1-\sqrt{1-y^2}$ . El $+$ la solución no funciona se mantiene en $(0,0)$ .

(Elegiríamos $x=1+\sqrt{1-y^2}$ en el dominio $1 \le x \le 2$ .)

Finalmente concluimos que es $\mathrm f(x)=\sqrt{2x-x^2}$ para todos $0 \le x \le 1$ entonces $\mathrm f^{-1}(x) = 1-\sqrt{1-x^2}$ para todos $0 \le x \le 1$ .

Alternativamente, si $\mathrm g(x)=\sqrt{2x-x^2}$ para todos $1 \le x \le 2$ entonces $\mathrm g^{-1}(x) = 1+\sqrt{1-x^2}$ para todos $0 \le x \le 1$ .

Answer 2

Pasos hacia una función inversa:

1. Averiguar qué valores $x$ y $y$ puede tener. Desde $y$ es una raíz cuadrada, tiene que ser positiva. Lo que está debajo de la raíz tiene que ser no negativo, así que (¿O tal vez ya se dio un dominio y un codominio? Tengo que asumir algún contexto aquí).
2. Resolver para $x$ de la ecuación que tienes. Empieza elevando los lados al cuadrado. Entonces la fórmula cuadrática te ayudará.
3. Comprueba que la fórmula que obtienes tiene sentido: $x$ y $y$ necesita satisfacer lo que encontró en el paso 1.

Answer 3

$$ y=\sqrt{2x-x^2}\\ x^2-2x+y^2=0\\ x=1\pm \sqrt{1-y^2} $$

Answer 4

$y=\sqrt{2x-x^2}$

$y^2=2x-x^2$

$y^2-1=-1+2x-x^2$

$1-y^2=x^2-2x+1$

¿Se está haciendo visible ahora?

$\sqrt{1-y^2}=x-1$

$x=1+\sqrt{1-y^2}$

Pero nuestro INVERSO se obtiene cambiando $x$ y $y$ para conseguir $\boxed{y=1+\sqrt{1-x^2}}$ .

Answer 5

El dominio de $f(x)=\sqrt{2x-x^2}$ es $$\mbox{dom}(f)=\{x\in\mathbb{R} \ | \ 0\le x\le 2\}$$ además su imagen es $$\mbox{Im}(f)=\{y\in\mathbb{R} \ | \ 0\le y\le 1 \}$$ Su gráfico es una semicircunferencia con centro $C(1,0)$ y el radio $r=1$ de hecho

$\\ y=\sqrt{2x-x^2}\implies y^2=2x-x^2\implies \\ \\ \\ x^2+y^2-2x=0\implies \implies x^2+y^2-2x+1-1=0$

por lo que el gráfico de $f$ es una parte de la circumpherencia de la ecuación $(x-1)^2+y^2=1$ que se encuentra en el primer cuadrante. Esto implica que $f(x)=\sqrt{2x-x^2}$ no es globalmente inyectiva, por lo que no puede ser invertible en el dominio.

pero... considera la ecuación

$y=\sqrt{2x-x^2}$

cuadrar ambos lados

$y^2=2x-x^2\implies y^2-2x+x^2=0\to (x-1)^2+y^2=1$

resolver con respecto a $x-1$

$(x-1)^2=1-y^2\to |x-1|=\sqrt{1-y^2}$

Si $1\le x\le 2$ entonces $|x-1|=x-1$ así que

$|x-1|=\sqrt{1-y^2}\implies x-1=\sqrt{1-y^2}\implies x=\sqrt{1-y^2}+1$

intercambiar las variables

$y=\sqrt{1-x^2}+1$ es la inversa de $f(x)$ para $x\in [0,1]\wedge y\in [1,2]$

Si $0\le x\le 1$ entonces $|x-1|=1-x$ así que $|x-1|=\sqrt{1-y^2}$ se convierte en $$1-x=\sqrt{1-y^2}\implies x=1-\sqrt{1-y^2}$$

Intercambiar las variables $y=1-\sqrt{1-y^2}$

Por lo tanto, $y=1-\sqrt{1-x^2}$ es la inversa de $f(x)$ cuando $x\in [0, 1]\wedge y\in [0,1]$ .