Caracterización de un politopo convexo giratorio a partir de las áreas de superficie de sus proyecciones bidimensionales

Question

Mi pregunta general se refiere a lo que podemos aprender sobre un politopo convexo tridimensional arbitrario (o casco convexo de un politopo arbitrario) estrictamente a partir de las áreas de superficie de sus proyecciones bidimensionales sobre un plano mientras "da vueltas" en el espacio tridimensional (es decir, mientras gira a lo largo de un eje arbitrario y cambiante).

Si te sirve de ayuda, imagina la siguiente configuración física:

Tomamos un politopo convexo tridimensional arbitrario y fijamos el centro de masa en una coordenada del espacio 3, $(x_0, y_0, z_0)$ , situado a cierta distancia, $D$ sobre una superficie plana. Aunque esto prohíbe la traslación del centro de masa, el politopo puede girar libremente (es decir, se le permite rotar alrededor de un eje arbitrario centrado en la coordenada fija).

No hay "gravedad" ni ninguna otra fuerza que estabilice el politopo en movimiento en una orientación determinada. Con el tiempo, seguirá dando vueltas al azar. (El montaje "físico" es sólo por razones descriptivas).

Dirigimos un haz de luz coherente sobre el politopo en movimiento, más grande que las dimensiones del politopo, y registramos continuamente el área de la sombra resultante, o proyección bidimensional sobre la superficie. Para ser claros, el área de la proyección bidimensional es la única información que se nos permite observar o registrar, y se nos permite hacerlo durante un periodo de tiempo arbitrario.

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Mi pregunta es: ¿de la observación del área de la sombra del politopo en movimiento, o de la proyección bidimensional en el tiempo, qué podemos aprender sobre su geometría? ¿Hasta qué punto podemos caracterizar y/o reconstruir el politopo a partir de su sombra cambiante (extrayendo el área de la superficie, por ejemplo - consejo para Nurdin Takenov)?

¿Ganamos algo observando la evolución de la sombra del politopo convexo a medida que da vueltas (parte del punto para el ejemplo físico), a diferencia de una colección desordenada de proyecciones bidimensionales?

Actualización - Nurdin Takenov (y Sergei Ivanov en comentarios posteriores) señala muy bien que podemos utilizar la superficie media de la proyección bidimensional para encontrar la superficie del polígono convexo que gira. ¿Podríamos encontrar su volumen?

(Adenda - Me gustaría que alguien me indicara algún algoritmo en la literatura... o software disponible .... que me permita calcular y caracterizar las proyecciones de superficies bidimensionales de los polítopos convexos).

Answer 1

No se puede recuperar un politopo convexo a partir de sus áreas de proyección, aunque se conozca la función completa (vector unitario) $\mapsto$ (área de proyección a lo largo de este vector). Existen dos politopos diferentes $P_1$ y $P_2$ tal que para cada vector unitario $v\in\mathbb R^3$ las áreas de las dos proyecciones a lo largo de $v$ son iguales.

Empezaré con un ejemplo bidimensional. En este caso, las proyecciones son unidimensionales, y el "área de proyección" es la anchura. Consideremos un triángulo regular $T$ con lado 1 y hexágono regular $H$ con el lado 1/2, colocados de forma que sus lados sean paralelos. Sus anchos son iguales en todas las direcciones. Esto se puede demostrar sin necesidad de hacer cálculos: el hexágono es la simetrización de Minkowski del triángulo y la simetrización preserva las anchuras.

Ahora pasa a la dimensión 3. Dejemos que $P_1=T\times[0,1]$ , el prisma de altura 1 basado en el triángulo regular de lado 1. Sea $P_2=(\sqrt{2/3}H)\times[0,\sqrt{3/2}]$ el prisma con altura $\sqrt{3/2}$ basado en el hexágono regular de lado $1/\sqrt6$ (Espero que las constantes sean correctas). Afirmo que tienen la misma área de proyección en todas las direcciones.

De forma más general, consideremos un prisma de altura $h$ basado en una figura convexa $F$ de la zona $A$ de manera que la base sea paralela a la $xy$ -plano. Su área de proyección a lo largo de un vector $v=(\cos\alpha\cos\theta,\sin\alpha\cos\theta,\sin\theta)$ viene dada por $$ A\cdot \sin\theta+w(\alpha)\cdot h \cdot \cos\theta $$ donde $w(\alpha)$ es la anchura de $F$ en la dirección horizontal que forma el ángulo orientado $\alpha$ con el $x$ -eje. Las constantes en el ejemplo anterior se eligen para que los dos prismas tengan el mismo $A$ y la diferencia en $w(\alpha)$ se compensa con la diferencia de $h$ .

Answer 2

Hej, parece que hay un número de variaciones de la pregunta original por ahí. Déjame decirte lo que se sabe (para mí):

Supongamos que un politopo convexo (desconocido) $P$ en $R^3$ está dada. Asumo que podemos observar proyecciones ortogonales sobre planos (pensemos en las sombras que vemos en una pantalla que es ortogonal a la dirección de la luz paralela entrante). Si la dirección de la luz entrante es un vector unitario u, entonces la información que tenemos es el dato $ F(P,u)=area(proj_u(P)) $ donde $proj_u(P)$ es la proyección ortogonal de $P$ a lo largo de la dirección $u$ . Esta función se llama función de proyección o función de brillo en la geometría convexa. ¿Qué sabemos sobre $P$ cuando conocemos la función de proyección para todas las direcciones u?

1) La superficie de $P$ es proporcional a la función promediada $F(P,u)$ , promediada en todas las direcciones (ya se comentó antes, y es una consecuencia de la fórmula de proyección de Cauchy, incluso verdadera en todas las dimensiones y cuando el politopo es algún conjunto convexo).

2) Si $P$ se traduce entonces $F(u)$ no cambia, así que lo mejor que podemos esperar es la determinación hasta las traducciones. En general $P$ no está determinada unívocamente hasta las traslaciones por $F(P,u)$ . También esto se comentó antes. También está claro. Tomemos un politopo $P$ que no tiene un centro de simetría. Entonces su reflexión en el origen $\hat P$ no es una traducción del original $P$ pero $F(P,u)=F(\hat P,u)$ para todos $u$ .

3) Sorprendentemente, la simetría central es la propiedad crucial: Si $P$ es de simetría central el $F(P,u)$ (conocido para todo u) determina $P$ únicamente hasta las traducciones. Esto ya fue demostrado por Alexandrov y a menudo se denomina teorema de proyección de Alexandrov. Es válido en todas las dimensiones y para cuerpos convexos de simetría central arbitraria. Véase el libro de Richard Gardner sobre tomografía geométrica.

4) Bajo el supuesto de simetría central, existe un algoritmo para determinar $P$ de $F(P,u)$ ver el artículo RECONSTRUCCIÓN DE CUERPOS CONVEXOS A PARTIR DE LAS FUNCIONES DE BRILLO por R. Gardner y Peyman Milanfar.

Mis mejores deseos, Markus Kiderlen

Answer 3

Si el politopo es convexo, ciertamente podríamos encontrar la superficie del politopo: Sea $u_i$ - vectores, tal que para cada $i$ vector $u_i$ es perpendicular a la cara $\Gamma_i$ y $|u_i|=area(\Gamma_i)$ . Entonces, si proyectamos el politopo al plano con el vector normal $n$ el área de proyección sería:

$Pr(n)=\frac{1}{2}\sum_i |(u_i,n)|$

A continuación, considere la integral por encima de todos los posibles $n$ (están en la esfera unitaria U). No es difícil demostrar que para cada $a$ :

$\int_{U} |(a,n)|dS=2\pi |a|$

Así que:

$\int_{U} Pr(n)dS=2\pi\sum_i |u_i|$

No recuerdo el nombre de esta fórmula.

Answer 4

Esta es una buena pregunta, y espero ver una respuesta definitiva. Mientras tanto, permítanme señalar que se sabe que un politopo convexo en $E^n$ no siempre está determinado por un finito conjunto de sus proyecciones, sino que se determina por todo de sus proyecciones en 2D. Richard Gardner, en Tomografía geométrica , plantea el primer punto de esta manera: "generalmente no es posible elegir un conjunto finito de subespacios de tal manera que las proyecciones correspondientes distingan $P$ de cualquier otro politopo convexo" [p.93].

Por alguna razón no puedo añadir un comentario para responder a lo último de Rob Grey. Mis disculpas por no entender las convenciones de MathFlow. Aquí está mi respuesta:

Sí, yo también me lo pregunto. Por eso lo que he publicado no es una respuesta a tu interesante pregunta. Tienes bastante menos información -sólo el área, no la proyección real- pero tienes la "evolución", como dices, presumiblemente una asociación de la dirección de proyección con el área. Esto podría verse como un área asociada a cada punto de la esfera unitaria (el punto que representa la dirección de proyección). Supongo que aquí estoy suponiendo una respuesta particular a la pregunta de Sergei Ivanov.

Así que yo reformularía su pregunta: ¿El mapa de $S^2$ ¿el área de proyección determina de forma única el politopo, o más generalmente, un cuerpo convexo?

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Hay un nuevo artículo en el arXiv de Gardner, Gronchi y Theobald que aborda un caso muy específico de la pregunta original de Rob: "Determinar una rotación de un tetraedro a partir de una proyección" arXiv:1111.7100 . Determinan las condiciones en las que la sombra (de proyección ortogonal) de un tetraedro conocido permite reconstruir su orientación en el espacio. Esta es ya una situación muy compleja.