¿Son lo mismo los vectores y las transformaciones/mapas (no necesariamente lineales)?

Question

A medida que aprendo más matemáticas, noto cada vez más las similitudes entre conceptos que, de otro modo, se identifican de forma diferente. Sólo tengo conocimientos de álgebra lineal básica, pero me parece que un vector y una transformación/mapa son la misma cosa?

Si tengo el vector $\overrightarrow{r}(x, y) = (xy, x+2, 3)$ , entonces es el mapeo de $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ ¿verdad?

La parametrización $\overrightarrow{r}(t) = (t, t^2)$ es el mapeo de $\mathbb{R} \to \mathbb{R^2}$ .

Agradecería mucho que la gente se tomara la molestia de aclarar esto.

P.D. No estoy del todo seguro de con qué etiquetar esto, pero sospecho que entra en la categoría de álgebra abstracta. Si no es así, agradecería que la gente tuviera la amabilidad de editar mi pregunta con las etiquetas adecuadas.

Answer 1

La transformación y el mapa son funciones. Así que en un sentido general son lo mismo. Los vectores no son funciones.

Se puede llamar $\overrightarrow r$ un campo vectorial, que es un término antiguo. En general, un campo vectorial es un mapa $\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$ . (véase el Cálculo II de Apostol, por ejemplo).

Cada elemento de un espacio vectorial se llama vector. Por ejemplo, un punto de $\mathbb{R}^{n}$ un espacio vectorial, se llama vector para cada número entero $n \geq 1$ .

Answer 2

Te estoy dando cierto ejemplo que es la transformación lineal considere $$f:R\to R$$ $$f(x)=exp(x)$$ ves que esto es una transformación lineal pero no hay ningún vector involucrado aquí así que puedes concluir que los vectores y las transformaciones no son lo mismo.....