Solución a la EDP de segundo orden $u_{xy}-xu_x+u=0$

Question

Dada la ecuación diferencial parcial de segundo orden $u_{xy}-xu_x+u=0$ , donde $u=u(x,y)$ encontrar la solución general.

Intenté usar $u(x,y)=v((x,y),(x,y))$ sustitución para obtener

$$_x_yv_{}+(_x_y+_y_x)v_{}+_x_yv_{}+_{xy}v_+_{xy}v_-x(_xv_+_xv_)+v=0,$$

pero no pude obtener algo útil de esto asumiendo $_x_y+_y_x=0$ o $(_x_y=0$ y $_x_y=0)$ .

Answer 1

$$u_{xy}-xu_x+u=0$$ Esta EDP elíptica ya está en forma canónica.

Busque soluciones particulares. Método de separación de variables, con $u=f(x)g(y)$ $$f'g'-xf'g+fg=0$$ $\frac{g'}{g}=x-\frac{1}{\frac{f'}{f}}=$ (función de $y$ )=(función de $x$ )=constante= $\lambda$ $$\begin{cases} \frac{g'}{g}=\lambda \\ (x-\lambda)f'-f=0 \end{cases} \qquad\to\qquad \begin{cases} g=c_1e^{\lambda t}\\ f=c_2(x-\lambda) \end{cases}$$ Solución particular correspondiente a un valor particular de $\lambda$ donde $C_\lambda$ es cualquier constante :

$$u(\lambda ;x,y)=C_{\lambda}(x-\lambda)e^{\lambda t}$$

Solución de la EDP, expresada en forma de serie : $$u(x,y)=\sum_{\lambda} C_{\lambda}(x-\lambda)e^{\lambda t}$$

Solución expresada en forma integral : $$u(x,y)=\int f(\lambda)(x-\lambda)e^{\lambda t}d\lambda$$ donde $f(\lambda)$ es cualquier función integrable.