cómo cambia la probabilidad en función de acontecimientos independientes pasados

Question

Digamos que tenemos una moneda con cara 1 y el lado 2 y estos son los dos únicos resultados que podemos obtener al lanzar la moneda.
Al lanzar la moneda, sabemos que:
$$Pr(result = 1) = \frac{1}{3}$$ $$Pr(result = 2) = \frac{2}{3}$$ Y los eventos son siempre independientes

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Lo que significa, como sé, que obtendremos el resultado 1 cada tres lanzamientos en promedio, también que si lanzamos las monedas tres veces, (*) la probabilidad de que ninguno de los tres resultados fuera 1 es el 27 de agosto.

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Ahora queremos lanzar la moneda tres veces, lanzamos dos veces y los resultados por ahora son 2 2
Estoy un poco confundido sobre lo que podemos decir sobre $Pr(result = 1)$ en este punto, por un lado estos eventos son independientes por lo que la probabilidad debería quedarse como está, por otro lado estoy teniendo la sensación de que la probabilidad debería ser más de 1/3, o al menos que podemos decir algo más sobre ella o sobre las tres tiradas, por la "media" y por la bala (*)

Answer 1

El problema con el que ha tropezado tiene claros vínculos con algunos de los resultados más famosos y contraintuitivos de la teoría de la probabilidad. La respuesta corta a tu pregunta es que dado que los eventos son independientes, $$Pr(\text{result}=1)=\frac{1}{3}$$ independientemente de lo que haya surgido de antemano. Piensa en lo que significaría que esta probabilidad cambiara de repente después de unos cuantos lanzamientos. La moneda tendría que "recordar" de algún modo lo que ha sucedido antes y asegurarse de que todo sale bien. Desgraciadamente, en matemáticas tendemos a evitar la antropomorfización de las monedas.

Es importante tener claro lo que queremos decir con la palabra "media". Si decimos que el número medio de $1$ que surgen en $3$ es igual a $1$ Entonces lo que queremos decir es que si consideramos docenas y docenas de casos en los que se voltea $3$ monedas, y cada vez que se computa $$m=\frac{\text{Number of times result = 1}}{3}$$ entonces el valor medio de $m$ debe ser aproximadamente $1/3$ . No exactamente $1/3$ pero lo suficientemente cerca. Si esto todavía le parece un poco abstracto, tal vez mi simulación por ordenador le convenza:

Estos son los resultados genuinos que obtuve después de lanzar tres de sus monedas sesgadas $10$ veces seguidas. Como puede ver, el valor de $m$ varía. A veces, incluso podemos ver ' $111$ ', a pesar de que esto sólo tiene un $\frac{1}{27}$ probabilidad de que ocurra. Cuando calculamos el valor medio de $m$ , entonces obtenemos que $m_\text{mean}=0.2\overline{3}$ . Así que no conseguimos exactamente $10$ ocurrencias de $1$ pero esto no es sorprendente. Así que recuerda, los promedios te cuentan lo que pasa en el largo recorrido pero puede ser poco fiable en el espacio de unas pocas vueltas, y ciertamente no le dirá lo que está a punto de ocurrir. Hágame saber si tiene alguna pregunta.