Pregunta sobre la serie de Taylor

Question

¿Alguien puede explicar por qué 1 y 2 usan series de Taylor diferentes? ¿Por qué no puedo usar $1/(1+r)$ = $\sum_{n=0}^{inf}(-1)^n r^n$ en 2, y vice versa?

Answer 1

Aquí hay un enfoque.

$$ \frac{x}{2x+1} = \frac{x}{2(x+1/2)}=\frac{(x-2)+2}{2( (x-2)+5/2 )}= \frac{(x-2)+2}{5(1+ 2(x-2)/5 )} $$

$$ = \frac{(x-2)}{5(1+ 2(x-2)/5 )} + \frac{2}{5(1+ 2(x-2)/5 )} . $$

Ahora, ponga $t=\frac{2}{5}(x-2)$ en la última ecuación y resuelva el problema.

Answer 2

Creo que tu confusión se debe al hecho de que no estamos seguros de lo que significa "alrededor de $\;x=c\;$" realmente. Esto significa que tienes que obtener una serie de la forma

$$f(x)=f(x)+\sum_{n=1}^\infty a_n(x-c)^n$$

Así, en (2) necesitas una serie de la forma

$$f(1)+\sum_{n=1}^\infty a_n(x-1)^n$$

y de manera similar con $\;(x-2)\;$ para (1).