Si cada punto es un máximo local, ¿se trata de una función escalonada?

Question

¿Cuáles son las funciones $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tal que cada punto es un máximo local?

Por supuesto, $f(x)=c$ funciona para todas las constantes. Lo mismo ocurre con $\lfloor x\rfloor$ al igual que $I_{\{0\}}(x)=\begin{cases}1&x=0\\0&x\ne0\end{cases}$ . Otro ejemplo es la extrañamente bella $e^{-\lfloor1/\lvert x\rvert\rfloor^{-2}}$ . La pregunta es, ¿son estas funciones escalonadas las únicas? ¿Existen ejemplos en los que cada punto sea un estricto ¿máximo local?

(La función de Thomae está a punto de fallar, ya que la condición no se cumple en puntos irracionales. Aunque la mayoría de los puntos son irracionales, así que supongo que el término "casi" no encaja del todo).

EDIT: Mi definición de función escalonada es la suma de contablemente muchas funciones indicadoras de intervalos, $\sum_{n=0}^\infty a_nI_{A_n}(x)$ . Si fuera incontable, cualquier función sería paso, como $\{\alpha\}$ es un intervalo ( $[\alpha,\alpha]$ ).

Esto surgió cuando pensaba en el espacio topológico con base $\{(-\infty,a]:a\in\mathbb R\}$ . Si llamas a ese espacio $X$ entonces las funciones continuas $f:\mathbb R\to X$ son precisamente estos. No tengo una prueba formal, pero estoy bastante seguro (y esto pertenecería a otra pregunta de todos modos).

Contrasta con: Es $f$ constante si cada punto es máximo local o mínimo local de $f$ ?

Answer 1

Aunque no puedo dar una respuesta más general, derivaré una propiedad de su conjunto de funciones: Su imagen es a lo sumo contable.

Para verlo, veamos $f$ sea una función de este tipo. Construiremos un mapa inyectivo $\text{Im}(f) \to \mathbb Q \times \mathbb Q$ (para lo que necesitamos el axioma de elección). Este mapa es el siguiente: Sea $y \in \text{Im}(f)$ . Asigne esto a una $x$ tal que $f(x)=y$ . Ahora hay un intervalo abierto $I$ en torno a $x$ tal que $f(\tilde{x}) \leq f(x)$ para todos $\tilde{x}$ en $I$ . En particular, también existe un intervalo cerrado $J\subset I$ con extremos racionales con esta propiedad. Ahora trazamos $x$ a $J$ y por tanto a $\mathbb Q \times \mathbb Q$ (es decir, a los puntos extremos izquierdo y derecho de $J$ respectivamente).

Queda por demostrar que este mapeo es inyectivo. Sea $y$ , $\tilde{y}$ que se asignan al mismo intervalo $J$ . Deje también que $x$ , $\tilde{x}$ tal que $f(x)=y$ , $f(\tilde{x})=\tilde{y}$ . Ahora en este intervalo por construcción se cumple que $f(x) \leq f(\tilde{x})$ y $f(\tilde{x}) \leq f(x)$ . Así $f(x)=f(\tilde{x})$ y finalmente $y=\tilde{y}$ lo que demuestra que el mapeo es inyectivo.