Cálculo de la integral doble.

Question

Calcula la integral doble:

$$\int_{0}^{\frac{\pi^3}{8}}\; dx \int _{\sqrt[3] x}^{\frac{\pi}{2}}\; \cos\frac{2x}{\pi y}\;dy\;.$$

Puede alguien indicarme cómo enfocar esto ya que tenemos que integrar con respecto a y pero y está en el denominador. Creo que el enfoque correcto podría ser cambiarlo a coordenadas polares pero no soy capaz de establecer los límites.

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\int_{0}^{\pi^3/8}\int_{x^{1/3}}^{\pi/2}\cos\left(\frac{2x}{\pi y}\right)\,dy\,dx=\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{y^3}\cos\left(\frac{2x}{\pi y}\right)\,dx\,dy \tag 1$$

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ALERTA SPOLIER: Desplácese por la zona resaltada para ver la solución completa

Estando con la integral del lado derecho de $(1)$ y evaluar la integral interna como $$\int_{0}^{y^3}\cos\left(\frac{2x}{\pi y}\right)\,dx=\frac{\pi y}{2}\sin\left(\frac{2y^2}{\pi}\right) \tag 2$$ Terminamos la integración procediendo a integrar el lado derecho de $(2)$ en $y$ . Obtenemos $$\int_0^{\pi/2}\frac{\pi y}{2}\sin\left(\frac{2y^2}{\pi}\right)=\frac{\pi^2}{8}$$ ¡Y ya está!

Answer 2

Cambiar el orden de la integral. Tenemos $$\int_0^{\pi^3/8} \int_{\sqrt[3]{x}}^{\pi/2} f(x,y)dydx = \int_0^{\pi/2} \int_0^{y^3} f(x,y) dx dy$$ Espero que puedas terminarlo desde aquí.

Answer 3

Dibuja un diagrama que muestre la región delimitada y cambia el orden de integración como sigue $$\int_{0}^{\frac{\pi^3}{8}}\ dx\int_{\sqrt[3]{x}}^{\frac{\pi}{2}}\cos\left(\frac{2x}{\pi y}\right)\ dy$$ $$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ dy\int_{0}^{y^3}\cos\left(\frac{2x}{\pi y}\right)\ dx$$ $$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ dy\left(\frac{\pi y}{2}\sin\left(\frac{2x}{\pi y}\right)\right)_{0}^{y^3}$$ $$=\frac{\pi }{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}y\sin\left(\frac{2y^2}{\pi }\right)\ dy$$ $$=\frac{\pi }{2}\frac{\pi }{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\left(\frac{2y^2}{\pi }\right)\ d\left(\frac{2y^2}{\pi}\right)$$

$$=\frac{\pi^2 }{8}\left(-\cos\left(\frac{2y^2}{\pi }\right)\right)_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$

$$=\frac{\pi^2 }{8}\left(-\cos\left(\frac{\pi}{2 }\right)+\cos 0\right)=\color{red}{\frac{\pi^2}{8}}$$