Cómo derivar una función generadora para la siguiente serie

Question

Dado un número entero n cómo se derivaría una función fn es decir, sin declaraciones condicionales, no utiliza floor o ceiling y devuelve un número entero que tiene la siguiente relación con n :

    n = {1,  2,  3,  4,  5,  6, ...}
fn(n) = {0, +1, -1, +2, -2, +3, ...}

Conozco la respuesta (no quería contaminar tus respuestas compartiéndola), pero no puedo derivarla por mí mismo de forma lógica, así que esta pregunta es sobre cómo derivar la función, no sobre cómo es la función.

Answer 1

Es evidente que un factor de $(-1)^n$ obtiene el signo algebraico correcto, por lo que el verdadero problema es obtener el valor absoluto de $f(n)$ para que salga bien. Quieres que sea $\frac{n}2$ cuando $n$ es par y $\frac{n-1}2$ cuando $n$ es impar; puedes conseguirlo fácilmente si encuentras una función $g(n)$ que devuelve $0$ cuando $n$ es par y $-1$ cuando $n$ es impar. La función $g(n)=(-1)^n$ da dos valores constantes diferentes en función de la paridad de $n$ Así que tratamos de modificarlo: $g(n)=(-1)^n-1$ produce $0$ cuando $n$ es par y $-2$ cuando $n$ es impar, así que dividiendo eso por $2$ hace el truco. Ahora, pon las piezas juntas:

$$f(n)=\frac{(-1)^n}2\left(n+\frac{(-1)^n-1}2\right)\;,$$

que, por supuesto, puede simplificarse, por ejemplo, a

$$f(n)=\frac{(-1)^n(2n-1)+1}4\;.$$