divergencia de iteración de punto fijo.

Question

Sabemos que si $g(x)$ es Continua sobre $[a,b]$ y
$g(x) \in [a,b], \forall x \in [a,b]$ y
$|g'(x)| < 1 , \forall x \in [a,b]$

entonces la iteración de punto fijo convergerá sólo en 1 punto $p$ , $p \in [a,b] , g(p) = p$ .

Así que mi pregunta es, ¿tenemos alguna manera de saber si la iteración divergirá para cualquier $x0$ ?
Quiero decir que este teorema es de un solo lado, lo que significa que si una de estas condiciones no ocurre, no podemos concluir si la iteración convergerá o divergirá, así que ¿hay algún teorema que pueda decirnos si convergeremos o divergeremos?

Editar: estoy buscando alguna condición o teorema que si esta condición o teorema ocurre entonces para cualquier $x0$ la iteración será divergente.

Answer 1

De hecho, si $g:[a.b]\longrightarrow[a,b]$ es continua su divergencia requerida para cualquier punto inicial es imposible porque $g$ tendrá al menos un punto fijo $p$ y $p = g(p) = g(g(p)) = \cdots$

EDITAR:

Lat be $F$ el conjunto de puntos fijos de $g$ y $E =\bigcup_{n=1}^\infty g^{-n}(F)$ . Si todos los puntos fijos de $g$ se repelen (para todos los $p\in F$ , $|g'(x)| > 1$ para todos $x$ en un barrio de $p$ ), entonces para cualquier $x_0\in[a,b]\setminus E$ la secuencia $x_0$ , $g(x_0)$ , $g(g(x_0))$ , $\dots$ diverge.

Prueba: Supongamos que $(x_n) = (g^n(x_0))$ converge. Sólo puede converger a algún punto fijo $p$ . Sea $(p-\epsilon,p+\epsilon)$ un barrio repelente. Entonces, para algunos $n$ , $x_n,x_{n+1}\in(p-\epsilon,p+\epsilon)$ con $p<x_{n+1}<x_n$ o $x_n<x_{n+1}<p$ . Entonces, por la MVT $$|x_{n+1} - p| = |g(x_n) - g(p)| = |g'(\xi)(x_n - p)| > |x_n - p|,$$ contradicción.