¿Por qué los vectores unitarios circulares se definen a menudo como $\hat{\mathbf e}_\pm = \mp (\hat{\mathbf e}_x \pm i \hat{\mathbf e}_y)/\sqrt{2}$

Question

Cuando se trata de polarizaciones circulares, armónicos esféricos y, en general, de cualquier cantidad vectorial invariable por rotación, a menudo es necesario definir vectores unitarios de valor complejo de la forma $(1,i,0)$ y $(1,-i,0)$ que tienen la bonita propiedad de que bajo una rotación van a sí mismas veces una fase compleja.

Sin embargo, muchos recursos, especialmente los que tienen una postura seria y sistemática, utilizan una convención de signos diferente, y definen $$ \newcommand{\ue}[1]{\hat{\mathbf{e}}_{#1}} \ue\pm= \mp \frac{1}{\sqrt{2}}\big(\ue x \pm i \ue y\big),$$ con un signo global al frente. Esto es relativamente contraintuitivo para mí, pero se ve una buena cantidad de uso [ver 1 , 2 , 3 , 4 por ejemplo], así que imagino que debe haber alguna razón para esta convención.

¿De qué manera esta convención de signos simplifica las cosas? No es el tipo de cosa que se haría al azar, introduciendo una complejidad gratuita en una fórmula fundamental que debería ser lo más sencilla posible, así que imagino que está ahí para reducir la complejidad en otros lugares. ¿Qué es exactamente ese "otro lugar"?

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En beneficio de la cordura en este hilo, \ue{x} se ha definido para producir $\ue{x}$ .

Answer 1

Una respuesta, que conecta la antisimetría del producto cuña y el conmutador (de Lie), es a través del teorema de Wigner-Eckart. Sea $$ \hat T_{10}=\hat L_z\, \qquad \hat T_{1\pm 1}=\mp \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\hat L_x\pm i \hat L_y\right)=\mp \frac{1}{\sqrt{2}}\hat L_{\pm} $$ Entonces los elementos de la matriz $$ \langle jm'\vert \hat T_{1\mu}\vert jm\rangle=\langle jm;1\mu\vert jm'\rangle \sqrt{j(j+1)} $$ donde $\langle jm;1\mu\vert jm'\rangle$ es un coeficiente de Clebsch-Gordan. Básicamente, el $-$ es necesario para definir $\hat T_{11}$ como el correcto $+1$ componente del operador tensorial.

La conexión con el producto de la cuña es para que $$ \newcommand{\ue}[1]{\hat{\mathbf{e}}_{#1}} [\hat T_{1k},\hat T_{1m}]\leftrightarrow \ue{k}\wedge \ue{m} $$ y de hecho en algunos libros de texto el conmutador $[\hat T_{1k},\hat T_{1m}]$ se escribe como $\hat T_{1k}\wedge \hat T_{1m}$

Answer 2

$\newcommand{\ue}[1]{\hat{\mathbf{e}}_{#1}}$ Si se define $\ue\pm$ como

$$\ue\pm= \frac{1}{\sqrt{2}}\big(\ue x \pm \mathrm{i} \ue y\big)$$

se obtiene

$$\ue+\wedge \ue- = -\mathrm{i}\ue z.$$

Si, en cambio, se define

$$\ue+ = -\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\ue x + \mathrm{i} \ue y\big)$$

y

$$\ue- = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(\ue x - \mathrm{i} \ue y\big),$$

el producto cruzado se convierte en

$$\ue+\wedge \ue- = \mathrm{i}\ue z.$$

Por lo tanto, en el primer caso, $(\ue+,\ue-,\mathrm{i}{\ue z})$ tiene la misma orientación de $(\ue x,\ue y, \ue z)$ mientras que en este último la orientación se mantiene por $(\ue -,\ue +, \mathrm{i}\ue z)$ .

¿Hay alguna razón para preferir una orientación con respecto a la otra? Yo diría que no, que probablemente sea una cuestión de tradición.