Evaluar $\frac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^4}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^4}{(c-a)(c-b)}$

Question

Dejemos que $$a=-\sqrt{99}+\sqrt{999}+\sqrt{9999}$$

$$b = \sqrt{99}-\sqrt{999}+\sqrt{9999}$$

$$c = \sqrt{99}+\sqrt{999}-\sqrt{9999}$$

Evaluar $$\frac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^4}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^4}{(c-a)(c-b)}$$

Obra editada :

$$\frac{a^4(b-c) + b^4(c-a)+c^4(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$$

$$\frac{(a-b)(a-c)(b-c)(a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$$

$$a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc$$

$$a(a+b) +b(b+c) +c(c+a)$$

Ans : $$2(99+999+9999)=22194$$

Answer 1

SUGERENCIA: simplificando al principio y conseguirás $${a}^{2}+ba+ac+{b}^{2}+bc+{c}^{2} $$ y ahora puedes introducir los valores dados

Answer 2

Como la expresión dada es simétrica en $a,b,c$ el resultado debe ser una expresión simétrica de segundo grado en $a,b,c$ . Por lo tanto, podemos escribir $$\frac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^4}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^4}{(c-a)(c-b)} = \lambda(a^2+b^2+c^2) + \mu(ab+bc+ca)$$ Poniendo $a=0,b=1,c=2$ obtenemos $5\lambda+2\mu = 7$ y poniendo $a=0, b=1, c=-1$ obtenemos $2\lambda - \mu = 1$ . Así, $\lambda = \mu = 1$ y la expresión dada es igual a $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$