B es la forma de Jordan de A, por lo que hay una matriz P invertible para que $A=PBP^{-1}$ . ¿Cómo puedo encontrar P? Intenté resolver, y aquí está un camino detallado de mi solución. ¡Cualquier ayuda es muy apreciada!
Por ejemplo:
$$A=\left(\begin{matrix}1&-3&4 \\ 4&-7&8\\ 6&-7&7 \end{matrix}\right)$$ Encontré que los valores propios de A son $_1=_2=-1$ y $_3=3$ y los correspondientes vectores propios que he encontrado son, para -1: $(1,2,1)$ y por 3: $(1,2,2)$ .
Así que calculé y para la forma jordana de A a ser: $$B=\left(\begin{matrix}-1&1&0 \\ 0&-1&0\\ 0&0&3 \end{matrix}\right)$$
De modo que existe una matriz invetible P para que $A=PBP^{-1}$ . Intenté encontrar P en el siguiente método, pero me confundí al intentar...
Dejemos que $(p_1,p_2,p_3)$ sean los colmos de P. Así:
$A=PBP^{-1}$
$AP=PB$
$A(p_1,p_2,p_3)=(p_1,p_2,p_3)B$
Así que ahora multiplico por collums:
$1) A\cdot p_1=(-1) \cdot p_1$
$2) A\cdot p_2=1 \cdot p_1+(-1) \cdot p_2$
$3) A\cdot p_3=3 \cdot p_3$
Conclusiones:
(1): Así que $-1$ es un valor propio con su correspondiente vector propio $p_1$ , lo que significa que $p_1=(1,2,1)$ .
(3): Así que $3$ es un valor propio con su correspondiente vector propio $p_3$ , lo que significa que $p_3=(1,2,2)$ .
Y (2) es el problema ahora...
(2): $(A+I)\cdot p_2=p_1$
Sabemos por (1) que $(A+I)\cdot p_1=0$ , así que multiplicamos ambos lados por $(A+I):
$(A+I)^2\cdot p_2=0$
$\left(\begin{matrix}1&-3&4 \\ 4&-7&8\\ 6&-7&7 \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right)$
Resolver eso me dio dos vectores: $(1,1,0)$ y $(-1,0,1)$ . ¿Cuál es la correcta y por qué? Wolfram Alpha me dijo que $(-1,-1,0)$ es el correcto. ¿Por qué el cambio de signo?
Gracias de antemano, y perdón por el largo post.
