¿Cuál es la distancia más corta entre un punto del interior de un elipsoide y su superficie?

Question

En general, en una dimensión arbitraria, ¿cuál es la distancia más corta entre un punto del interior de un elipsoide y su superficie?

Cualquier buen recurso sobre este tema también sería de gran ayuda.

Edición: Sé que hay maneras de hacer esto con la optimización restringida, pero lo que me pregunto es si hay una manera de hacer esto analíticamente.

Answer 1

Si el punto es $p$ y el elipsoide es $x^T Q x = 1$ , quiere minimizar $(x-p)^T(x-p)$ con sujeción a $x^T Q x = 1$ , donde $Q$ es una matriz (simétrica) positiva definida. Utilizando un multiplicador de Lagrange, tomamos $$ F = (p-x)^T(p-x) + \lambda (x^T Q x -1)$$ Entonces queremos $$\nabla F = 2 (x-p) + 2 \lambda Q x = 0 $$ es decir $x = (I+\lambda Q)^{-1} p$ donde $\lambda$ se elige para que $x^T Q x = p^T (I+\lambda Q)^{-2} Q p = 1$ .

EDIT: Debe haber al menos dos soluciones reales de esta ecuación, de las cuales algunas harán $x = (I+\lambda Q)^{-1} p$ un mínimo local de la distancia y otros lo convierten en un máximo local.