Acerca de una definición de campo y campo oblicuo, con ejemplo $\{0\}$

Question

Utilizo las siguientes definiciones de Corso di geometria-Stoka Marius-CEDAM-1995 :

• sea $(C,+)$ un grupo conmutativo y $(C,\cdot)$ un semigrupo $$(C,+,\cdot) \text{ is ring iff }\begin{cases} \forall x\in C, \forall y\in C, \forall z\in C: (x+y)\cdot z=(x\cdot z)+(x\cdot y)\\ \forall x\in C, \forall y\in C, \forall z\in C: x\cdot (y+ z)=(x\cdot y)+(x\cdot z) \end{cases}$$

• sea $(C,+,\cdot)$ un anillo $$(C,+,\cdot) \text{ is commutative ring iff } \forall x \in C, \forall y\in C: (x\cdot y)=(y\cdot x) $$

• sea $(C,+,\cdot)$ un anillo $$(C,+,\cdot) \text{ is ring with 1 iff } \exists x=:1 \in C,\forall y \in C: (x \cdot y)=y=(y\cdot x) $$

He pensado, ¿son posibles las siguientes definiciones de campo inclinado y de campo?

• sea $(C,+,\cdot)$ un anillo con 1 $$(C,+,\cdot) \text{ is skew field iff } \forall x \in C\setminus{0},\exists y \in C: (x \cdot y)=1=(y \cdot x)$$

• sea $(C,+,\cdot)$ un campo de inclinación $$(C,+,\cdot) \text{ is field iff } \forall x \in C,\forall y \in C: (x \cdot y)=(y\cdot x)$$

En caso afirmativo, ¿es $(\{0\}, +, \cdot)$ ¿un campo?

Answer 1

Un campo sesgado (o campo sesgado) es un anillo en el que las ecuaciones ax=b y ya=b con a≠0 son resolubles de forma única. En el caso de un anillo asociativo (cf. Anillos y álgebras asociativas) basta con exigir la existencia de una unidad 1 y la resolubilidad única de las ecuaciones ax=1 y ya=1 para cualquier a≠0. Un campo asociativo conmutativo sesgado se llama campo. Un ejemplo de campo sesgado asociativo no conmutativo es el campo sesgado de los cuaterniones, definido como el conjunto de matrices de la forma

(a-bb¯a¯) sobre el campo de los números complejos con las operaciones habituales (véase Quaternion). Un ejemplo de campo sesgado no asociativo es el álgebra de Cayley-Dickson, que consiste en todas las matrices de la misma forma que la anterior sobre el campo sesgado de los cuaterniones. Este campo sesgado es alternativo (véase Anillos y álgebras alternativos). Cualquier campo inclinado es un álgebra de división sobre el campo de los números racionales o sobre un campo de residuos Fp=Z/(p). El campo inclinado de los cuaterniones es un álgebra de 4 dimensiones sobre el campo de los números reales, mientras que el álgebra de Cayley-Dickson es de 8 dimensiones. La dimensión de cualquier álgebra con división sobre el campo de los números reales es igual a 1, 2, 4 u 8 (véase [Ad], y también Anillo topológico). Los campos de los números reales o complejos y el campo de los cuaterniones son los únicos campos asociativos conectados localmente compactos (véase [Po]). Cualquier álgebra de dimensión finita sin divisores cero es un campo sesgado. Todo campo inclinado asociativo finito es conmutativo (véase [Sk], [He]). Un campo sesgado asociativo se caracteriza por la propiedad de que cualquier módulo distinto de cero sobre él es libre. Cualquier campo inclinado no asociativo es de dimensión finita [ZhSlShSh]. Un resultado similar se aplica a los campos inclinados de Mal'tsev [Fi] (véase el álgebra de Mal'tsev) y a los campos inclinados de Jordan [Ze] (véase el álgebra de Jordan). A diferencia del caso conmutativo, no todos los anillos asociativos sin divisores nulos pueden incrustarse en un campo inclinado (véase Incrustación de anillos).

Los campos asociativos sesgados también se conocen como anillos de división, en particular si son de dimensión finita sobre su centro