Aplicaciones de los teoremas de isomorfismo

Question

En mi estudio de grupos, anillos, módulos, etc., he visto los tres teoremas de isomorfismo enunciados y demostrados muchas veces. Yo utilizo el primero ( $G/\ker \phi \cong \operatorname{im} \phi$ ) muy a menudo, pero no recuerdo haber utilizado nunca las otras dos. ¿Puede alguien dar algún ejemplo en el que se utilicen de forma crucial en alguna prueba?

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Para mayor claridad, digamos que el 2º es : $(M/L)/(N/L) \cong M/N$ en las condiciones apropiadas, y la tercera es $(M+N)/N \cong M/(M\cap N).$

Answer 1

Esta es una aplicación del segundo teorema del isomorfismo, aunque el teorema no juega un crucial papel en ella.

Dejemos que $a, b$ sean enteros positivos. Entonces $$ a \mathbf{Z} + b \mathbf{Z} = \gcd(a, b) \mathbf{Z}, $$ y $$ a \mathbf{Z} \cap b \mathbf{Z} = \operatorname{lcm}(a, b) \mathbf{Z}. $$ Ahora el segundo teorema de isomorfismo te da el isomorfismo $$ \frac{\gcd(a, b) \mathbf{Z}}{b \mathbf{Z}} = \frac{a \mathbf{Z} + b \mathbf{Z}}{b \mathbf{Z}} \cong \frac{a \mathbf{Z}}{a \mathbf{Z} \cap b \mathbf{Z}} = \frac{a \mathbf{Z}}{\operatorname{lcm}(a, b) \mathbf{Z}}. $$ Comparando los pedidos se obtiene $$ \frac{b}{\gcd(a, b)} = \frac{\operatorname{lcm}(a, b)}{a}, $$ que es la conocida fórmula $$ \gcd(a, b) \operatorname{lcm}(a, b) = a b. \tag{gcd/lcm} $$ Es evidente que (gcd/lcm) se puede demostrar sin recurrir al segundo teorema del isomorfismo. Pero siempre que enseño el teorema, me parece útil para los alumnos mostrarles que, en cierto sentido, estamos generalizando un hecho con el que ya están familiarizados.

Answer 2

Como han mencionado Boris y Alexander, estos dos teoremas se utilizan mucho en el estudio de las series normales, y en particular de los grupos solubles.

Un ejemplo básico es el siguiente. Un grupo $G$ es metabeliana si tiene un subgrupo normal $N$ tal que $N$ y $G/N$ son ambas abelianas.

Teorema Cualquier subgrupo de un grupo metabélico es metabélico.

Prueba Dejemos que $G$ sea un grupo metabélico con un subgrupo abeliano normal $N$ tal que $G/N$ es abeliana. Sea $H$ sea cualquier subgrupo de $G$ . Entonces $H\cap N$ es un subgrupo abeliano normal de $H$ y $H/(H\cap N)\cong HN/N$ que es un subgrupo de $G/N$ y, por tanto, es abeliano. Así, $H$ es metabeliana. $\Box$

El mismo tipo de idea podría usarse con inducción para demostrar que cualquier subgrupo de un grupo soluble de longitud derivada $n$ también es soluble, de longitud derivada como máximo $n$ aunque no creo que sea la prueba estándar.

Answer 3

Ambos se utilizan mucho cuando se estudian las series normales, por ejemplo las derivadas, las de ajuste, las centrales inferiores/superiores o las de composición, y se habla explícitamente de sus miembros.

Si estoy tratando de probar algo sobre un Sylow $p$ -de un cociente por un Sylow $q$ -subgrupo $(p\not= q)$ por ejemplo, $PQ/Q\cong P/(P\cap Q)$ es muy útil porque sabemos que $P\cap Q=1$ . Así que tenemos $PQ/Q\cong P$ , un resultado intuitivo de que el subgrupo interno a Sylow no se ve afectado por el cociente con otro subgrupo Sylow no relacionado. Además, en el resto de la prueba, sabemos que podemos referirnos al Sylow $p$ -subgrupos de $G/Q$ como $P$ en lugar de $PQ/Q$ , lo que es conveniente desde el punto de vista de la notación.

Del mismo modo, digamos que estamos viendo la serie $Z_0=G$ y $Z_i/Z_{i-1}=Z(G/Z_{i-1})$ . Sabemos que $\frac{G/Z_{i-1}}{Z_i/Z_{i-1}}\cong G/Z_i$ que es una forma mucho más fácil de hablar de ese grupo.

Answer 4

Es cierto que el primer teorema de isomorfismo es más utilizado que el segundo o el tercero. El lema de Zassenhaus utiliza el tercer teorema del isomorfismo. No se me ocurre ningún teorema que utilice esencialmente el segundo teorema de isomorfismo, aunque es útil en los cálculos.

Hay que señalar que el segundo y el tercer teorema de isomorfismo son consecuencias directas del primero, y de hecho (un poco filosóficamente) sólo hay un teorema de isomorfismo (el primero), los otros dos son corolarios.

Answer 5

Creo que otro ejemplo muy conocido de uso de esos teoremas quizá sea el epítome de Teorema de Jordan-Hölder cuando queremos ver que dos series de composición cualesquiera de un grupo dado son equivalentes.