Probar una biyección (inyección y suryección) sobre una función

Question

Necesito ayuda para demostrar las biyecciones:

Supongamos que f es una función de $$ \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2$$

Definido por

$$f(x,y) = (ax-by,bx+ay)$$

Donde a,b son números con $$ a^2 + b^2 \neq 0 $$

Demuestra que f es una biyección.

Entiendo que una función f es una biyección si es tanto una inyección como una suryección, por lo que necesitaría demostrar ambas propiedades.

¿Podría darme una pista sobre cómo empezar a probar la inyección y la sobreinyección?

Gracias.

Answer 1

Inyección:

$f(x,y)=(0,0) \iff (S)\left\{\begin{array}{l}ax-by=0\\bx+ay=0 \end{array}\right.$

Dado que el determinante del sistema lineal $(S)$ es $\Delta=a^2+b^2$ entonces $\Delta \neq 0$ y $(S)$ es un Sistema Cramer tenemos $x=y=0$

Ahora tenemos $f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2) \iff f(x_1-x_2,y_1-y_2)=(0,0) \iff x_1-x_2=y_1-y_2=0$

Para $X_1=(x_1,y_1)$ y $X_2=(x_2,y_2)$ tenemos : $$f(X_1)=f(X_2) \iff X_1=X_2$$

La objeción:

El sistema lineal: $$(S_{u,v})\left\{\begin{array}{l}ax-by=u\\bx+ay=v \end{array}\right.$$ para $u$ y $v$ dado es un Sistema Cramer y tiene una solución única.

Observación: Desde $S_{u,v}$ tiene una solución única que no necesitamos para probar la inyección. Basta con decir que cada $(u,v)$ tiene un único antecedente por $f$

Answer 2

Primero vamos a mostrar que $f$ está en $\mathbb{R}^2$ . Dejemos que $(X,Y)\in \mathbb{R}^2$ entonces $f(x,y) = (X,Y)$ requiere

$$ax-by = X$$ $$bx+ay = Y$$

que se resuelve con $y = \frac{aY-bX}{a^2 + b^2}$ y $x = \frac{bY+aX}{a^2+b^2}$ .

A continuación vamos a mostrar que $f$ es $1$ -a- $1$ . Supongamos que $f(x_1,y_1) = f(x_2,y_2)$ entonces

$$ax_1-by_1 = ax_2-by_2$$ $$bx_1+ay_1 = bx_2+ay_2$$

Multiplicando las ecuaciones por $b$ y $a$ respectivamente nos da

$$ab(x_1-x_2) = b^2(y_1-y_2)$$ $$ab(x_1-x_2) = a^2(y_2-y_1)$$

Ahora restando las ecuaciones se obtiene $$(a^2+b^2)(y_1-y_2) = 0$$

así que $y_1=y_2$ y se deduce que $x_1=x_2$ . Por lo tanto, $f$ es una biyección.