¿Es la función min alguna vez un estimador insesgado de la media?

Question

Dado $n$ variables i.i.d. $X_1$ a $X_n$ con una distribución de probabilidad desconocida, la media de la muestra es un estimador insesgado de la media de la distribución. ¿Existe alguna distribución de probabilidad no trivial para la que min( $X_1$ ,..., $X_n$ ) es un estimador insesgado? (No trivial significa que las variables pueden tener más de un valor potencial).

Answer 1

No. El mínimo es siempre menor o igual que la media aritmética, y es estrictamente menor con probabilidad positiva (es decir, cuando no todas las $X_i$ tienen el mismo valor). Por tanto, su valor esperado es estrictamente menor que el de la media.

Answer 2

No a menos que n=1 (lo siento, no pude resistirme). No estoy seguro de por qué preguntas esto, pero existe f(n,min(X_i)) que funciona para distribuciones dadas. (Es decir, funciones de n y min(X_i) que funcionan). Así que dado sólo el media (edit quería decir min aquí) y una forma paramétrica de una distribución se puede obtener una estimación no sesgada de la media. (Creo que [(n+1)/2]*min(X_i) funciona para una Uniforme(0,theta) por ejemplo.

Por supuesto, estos van a ser estimadores mucho peores (de mayor varianza) que la media aritmética porque has desechado información (los otros datos).