Unión e Intersección de una Familia Indexada

Question

Actualmente estoy tratando de entender algo que se mencionó en "Introducción al Análisis", es la quinta edición. Se utiliza para el curso de Cálculo Avanzado 1 en ASU. Actualmente no estoy tomando la clase, pero quiero adelantarme en el material. He tomado un curso introductorio sobre Lógica y también tomé un curso de Matemáticas Discretas.

Creo que entiendo bien estas dos definiciones. La primera es "Sea $\Lambda$ un conjunto, y suponga que para cada $\lambda\in\Lambda$, se especifica un subconjunto $A_\lambda$ de un conjunto dado S. La colección de conjuntos $A_\lambda$ se llama una $\textit{familia indexada}$ de subconjuntos de S con $\Lambda$ como el conjunto de índices. Denotamos esto como $\{A_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$".

La segunda es:
Si $A_\lambda$ es una familia indexada de conjuntos, se define
$$\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda=\{x:x \in A_\lambda, \text{para todo }\lambda \in \Lambda\}$$
y
$$\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda=\{x:x \in A_\lambda, \text{para algún } \lambda \in \Lambda\}$$
El libro afirma que si $\Lambda$ está vacío entonces la unión será el conjunto vacío pero que no está claro qué esperar de la intersección. No entiendo por qué. Si $\Lambda$ está vacío, ¿no significa que no hay índice para $A_\lambda$ y que no hay forma de crear la intersección y unión de $A_\lambda$?

Answer 1

La unión con un índice vacío debe ser cualquier conjunto en lugar de vacío. Hay principalmente 2 razones para esto. En primer lugar, si todos los $A_{\lambda}$ son iguales, para ser consistente con la idempotencia del conjunto, la unión debería ser $A_{\lambda}$ incluso si el índice está vacío. Más precisamente, si para todo $\lambda \in \Lambda, \: A_{\lambda}=A$, entonces $$ \bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda=A $$ Por lo tanto, la unión con un índice vacío debería ser $$ \bigcup_{\lambda\in\Phi} A_\lambda=A $$ En segundo lugar, si la unión con un índice vacío es vacía, entonces, como puedes ver, la intersección sería el universo según la ley de De Morgan, lo cual no tiene sentido ya que intuitivamente la unión siempre es más grande que la intersección.