Una pregunta (más bien tres) sobre un espacio topológico de ordinales.

Question

Llevo un tiempo luchando con esto, si alguien está dispuesto a ofrecer una pista estaré más que agradecido.

Dado un ordinal $\varepsilon$ consideremos el espacio topológico $L_{\varepsilon}$ cuyos puntos son los ordinales siguientes $\varepsilon$ y cuya topología está generada por los intervalos abiertos de la forma $$ (\alpha,\beta)=\{\gamma < \varepsilon \, :\, \alpha < \gamma < \beta \}. $$

(a.) Determine los ordinales $\varepsilon$ para lo cual $L_{\varepsilon}$ tiene la propiedad de que dos conjuntos cerrados cualesquiera de cardinalidad $|\varepsilon|$ son homeomórficos.

(b.) Determinar los ordinales $\varepsilon$ para lo cual $L_{\varepsilon}$ es contablemente compacto (es decir, cada cubierta contable de $L_{\varepsilon}$ tiene una subcubierta finita).

(c.) Supongamos $\varepsilon$ es un cardinal. Determina el supremum entre los cardinales $\lambda < \varepsilon$ tal que cualquier intersección de menos de $\lambda$ conjuntos cerrados de cardinalidad $\varepsilon$ es no vacía.

Answer 1

CONSEJOS: (No me gusta usar $\epsilon$ para un ordinal arbitrario, por lo que he cambiado ligeramente la notación. También estoy tratando sólo con ordinales infinitos, ya que el caso finito es completamente sencillo). Yo empezaría por (b), que creo que es la más fácil, y haría (a) en último lugar.

• (a) Supongamos que $\alpha$ es un ordinal, y sea $\kappa=|\alpha|$ . Demuestre primero que si $\alpha=\kappa$ entonces dos subconjuntos cerrados cualesquiera de $L_\alpha$ de cardinalidad $\kappa$ son homeomórficos. (En particular, todos son homeomórficos a $L_\alpha$ .) Entonces demuestre que $L_\alpha$ es compacto si $\alpha$ es un ordinal sucesor. Utiliza esto para demostrar que si $\alpha>\kappa$ entonces $[0,\kappa]$ es un subconjunto compacto de $L_\alpha$ de cardinalidad $\kappa$ . Si $\alpha>\kappa$ es un ordinal límite, sin embargo, $L_\alpha$ es un subconjunto no compacto de $L_\alpha$ de cardinalidad $\kappa$ Por lo tanto, sólo queda considerar el caso en el que $\alpha$ es un ordinal sucesor. Hay un único ordinal sucesor $\beta$ tal que $\alpha=\kappa+\beta$ , donde la adición aquí es una adición ordinal. Demuestre que si $\beta<\kappa$ entonces $L_\alpha$ es homeomorfo a la unión disjunta de $L_\kappa$ y $L_\beta$ que a su vez es homeomorfo a $L_\kappa$ ; utilizar el hecho de que $\beta+\kappa=\kappa$ (de nuevo una suma ordinal). Por último, para tratar el caso $\beta>\kappa$ responda a la siguiente pregunta: ¿es $[0,\kappa+\kappa]$ homeomorfo a $[0,\kappa]$ (donde $\kappa+\kappa$ es la suma ordinal)?

• (b) Si $\operatorname{cf}\alpha=\omega$ , encontrar una tapa abierta de $L_\alpha$ sin subcubierta finita. (Aquí $\operatorname{cf}\alpha$ es la cofinalidad de $\alpha$ .) ¿Qué sucede si $\operatorname{cf}\alpha=1$ ? Si $\operatorname{cf}\alpha>\omega$ ?

• (c) Que $\kappa$ sea el cardinal. Demuestre que si $\lambda<\operatorname{cf}\kappa$ y $C_\xi$ es un subconjunto cerrado de $L_\kappa$ de cardinalidad $\kappa$ para cada $\xi<\lambda$ existe una secuencia estrictamente creciente $\langle\alpha_n:n\in\omega\rangle$ en $L_\kappa$ tal que $(\alpha_n,\alpha_{n+1})\cap C_\xi\ne\varnothing$ para cada $\xi<\lambda$ y utilizar esta secuencia para encontrar un ordinal en $\bigcap_{\xi<\lambda}C_\xi$ . (Si te quedas completamente atascado, mira este artículo de Wikipedia .) ¿Qué sucede si $\lambda\ge\operatorname{cf}\kappa$ ?