Dadas las funciones definidas a trozos $f$ y $g$ para lo cual $x$ es $f(x) > g(x)$ ?

Question

Esta es una pregunta de los deberes de una clase de precálculo de la que soy profesora asistente.

Definir las funciones $$ f(x) = \begin{cases} 2x+12 &\text{if }\; x<0 \\ 5 &\text{if }\; 0\leq x \leq 6 \\ x-7 &\text{if }\; x>6 \\ \end{cases} \quad\text{and}\quad g(x) = \begin{cases} x+4 &\text{if }\; x<2 \\ 8-x &\text{if }\; x\geq 2 \\ \end{cases}\,. $$ Grafique en una recta de números reales todas las soluciones de la desigualdad $f(x) > g(x).$

Quise escribir una solución completa a este ejercicio para mi clase, y pensé en publicarla en línea para ayudar a cualquier otra persona que se encuentre con ella.

Answer 1

Para comparar $f$ y $g$ es útil reescribir los dos pieza funciones definidas anteriormente para que cada una tenga el mismo número de piezas y para que sus piezas se definan cada una en subconjuntos coincidentes de sus dominios. Uno puede sentirse inclinado a decir que queremos expresar las funciones sobre proporcional dominios. En cualquier caso, podemos escribir $f$ y $g$ como $$ f(x) = \begin{cases} 2x+12 &\text{if }\; x<0 \\ 5 &\text{if }\; 0\leq x <2 \\ 5 &\text{if }\; 2\leq x \leq 6 \\ x-7 &\text{if }\; x>6 \\ \end{cases} \quad\text{and}\quad g(x) = \begin{cases} x+4 &\text{if }\; x<0 \\ x+4 &\text{if }\; 0\leq x<2 \\ 8-x &\text{if }\; 2 \leq x\leq 6 \\ 8-x &\text{if }\; x > 6 \\ \end{cases}\,. $$ Ahora podemos encontrar dónde $f(x) > g(x)$ considerando las piezas individualmente. Consideraremos la parte superior pieza de cada función primero. En el subconjunto del dominio donde $x<0$ , $f(x) = 2x+12$ y $g(x) = x+4$ . Por lo tanto, restringido a este subconjunto del dominio, $f(x) > g(x)$ si $$ \begin{align} 2x+12 &> x+4 \\ \iff \quad x &> -8\,. \end{align} $$ Pero sólo estamos considerando el subconjunto del dominio donde $x<0$ Así que, en general, $f(x) > g(x)$ para $x$ tal que $x<0$ y $x>-8$ que es todo $x$ en el intervalo $(-\infty, 0) \cap (-8, \infty) = (-8,0)$ . Podemos considerar de forma similar las otras tres piezas. Tenemos $f(x) > g(x)$ donde $$ \begin{align} 5>x+4 \;&\text{ and }\; 0 \leq x < 2\,, \\ 5>8-x \;&\text{ and }\; 2 \leq x \leq 6\,, \\ \text{or where}\;\;x-7>8-x \;&\text{ and }\; x>6\,. \end{align} $$ Estos tres intervalos donde $f(x) > g(x)$ son $[0,1)$ , $(3,6]$ y $\left(\frac{15}{2},\infty\right)$ respectivamente, por lo que $f(x) > g(x)$ para todos $x$ en el conjunto $$ \begin{align} (-8,0) \cup [0,1) &\cup (3,6] \cup \left(\frac{15}{2},\infty\right) \\[1em] =\;\; (-8,1) &\cup (3,6] \cup \left(\frac{15}{2},\infty\right)\,. \end{align} $$ Graficado en la línea real, este conjunto parece:

Entonces, si quisiéramos ser un poco más exigentes, podríamos graficar las funciones $f$ y $g$ para verificar visualmente que nuestra solución es correcta. En el gráfico siguiente, $\color{red}{f \text{ is red }}$ y $\color{blue}{g \text{ is blue }}$ .