Dejemos que $f : B^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ un mapa continuo, es $B^2 \subset \operatorname{im}(f)$ ?

Question

Consideremos un mapa continuo $f : B^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ tal que $f(S^1) \subset S^1$ y $deg(f_{|S^1}) \ne 0.$

Demostrar que $B^2 \subset \operatorname{im}(f).$

[Nota: Aquí, $B^2$ es el disco unitario cerrado, y el grado de una función se define así pregunta ]

No sé cómo demostrar la afirmación. De manera informal, veo que el número de enrollamiento nos dice que es cierto, pero no sé cómo el grupo fundamental y el grado codifican la información que da el número de enrollamiento.

La idea anterior proviene de lo siguiente hilo . Pero no sé cómo traducir completamente la solución a términos "puramente" de Topología Algebraica.

En mi curso, toda la teoría del "Grupo Fundamental" y del "Grado" se ha enseñado sin ninguna mención al número arrollador, y todo lo que aprendí sobre el número arrollador es de un curso de Análisis Complejo (es decir, con funciones holomorfas).

Gracias a todos.

Answer 1

Supongamos que $f$ omite el punto $P$ en el interior del círculo unitario. Existe un mapa continuo $\Phi:R^2-\{P\}\to S^1$ con la propiedad de que $\Phi(Q)$ es el punto del rayo $PQ$ en $S^1$ . Entonces $\Phi$ restringe a la identidad en $S^1$ . Entonces $F=\Phi\circ f:B\to S^1$ es continua, $F(S^1)\subset S^1$ y el grado $d$ de $F$ en $S^1$ es lo mismo que el grado de $f$ en $S^1$ (ya que se limitan al mismo mapa de $S^1$ a sí mismo).

Pero $d$ debe ser cero, ya que $F$ en efecto, da una homotopía de $F\mid_{S^1}$ a un mapa constante, y esto es una contradicción.