Prueba de por qué $\mathbf{A}_{ij}=i(n-j+1)$ para $j \geq i$ indica una semidefinición positiva

Question

Problema

Al leer un texto avanzado de computación numérica, me encontré con la siguiente afirmación

Si una matriz simétrica $\mathbf{A}\in \mathbb{R}^{n\times n}$ tiene entradas $\mathbf{A}_{ij}=i(n-j+1)$ para $j \geq i$ , entonces es semidefinido positivo.

Lo he comprobado numéricamente con Julia y parece que es una afirmación válida. Sin embargo, no pude ver por qué esto es cierto teóricamente . En especial, no sé cómo convertir esto en las siguientes tres condiciones de semideterminación positiva Podría alguien ayudarme, gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $\mathbf{P} \in \mathbb{R}^{n\times n}$ se define por

$$ \mathbf{P}_{ij} = (n+1-j) \mathbf{1}(i \leq j) = \begin{cases} n+1-j, & \text{if } i \leq j; \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases} $$

Además, deja que $\lambda_i = (n+1)\left( \frac{1}{n+1-i} - \frac{1}{n+2-i}\right) $ . Entonces afirmamos que

$$ \mathbf{A} = \mathbf{P}^{\mathsf{T}} \operatorname{diag}(\lambda_1, \cdots, \lambda_n) \mathbf{P}. $$

(Ya que $\lambda_i > 0$ esto es suficiente para establecer la definición positiva de $\mathbf{A}$ .) De hecho, el $(i,j)$ -La entrada de la RHS viene dada por

\begin{align*} \sum_{k=1}^{n} \lambda_k \mathbf{P}_{ki} \mathbf{P}_{kj} &= (n+1-i)(n+1-j) \sum_{k=1}^{n} \lambda_k \mathbf{1}(k \leq i, k \leq j) \\ &= (n+1)(n+1-i)(n+1-j) \sum_{k=1}^{\min\{i,j\}} \left( \frac{1}{n+1-k} - \frac{1}{n+2-k}\right) \\ &= (n+1)(n+1-i)(n+1-j) \left( \frac{1}{n+1-\min\{i,j\}} - \frac{1}{n+1} \right) \\ &= (n+1)(n+1-\max\{i,j\}) - (n+1-i)(n+1-j) \\ &= (n+1)(i+j-\max\{i,j\}) - ij \\ &= (n+1)\min\{i,j\} - ij \\ &= \mathbf{A}_{ij}. \end{align*}

Por lo tanto, la prueba está completa.

Answer 2

Dejemos que $L$ sea la matriz triangular inferior de $1$ s (con todas las entradas por encima de la diagonal principal iguales a $0$ ). Sangchul Lee ha observado (en una versión anterior de su respuesta) que $A=(n+1)LL^T-uu^T$ , donde $u=(1,2,\ldots,n)^T$ . Por lo tanto, podemos reescribir $A$ como $L\left((n+1)I-ee^T\right)L^T$ , donde $e=(1,1,\ldots,1)^T$ es el vector todo-uno. Por lo tanto, $A$ es positiva definida, porque es congruente con la matriz positiva definida $(n+1)I-ee^T$ .