Pregunta: ¿hay un ejemplo de algunos de los $X$ $Y$ no afín a sistemas, con $X \times_{\operatorname{Spec} \mathbb{Z}} Y$ afín?
Actualizado pregunta (después de que Eric Wofsey ejemplo: hay un ejemplo de algunos de los $X$ $Y$ no afín $k$-planes, con $X \times_{\operatorname{Spec k}} Y$ afín?
Mi larga y laberíntica pensamientos acerca de esta pregunta:
No puedo pensar en ejemplos en los que permitimos más general de los productos de fibra: se pueden intersecar no afín subschemes de proyectiva del espacio para llegar a un esquema afín (por ejemplo tomar algunas afín plano sin que el origen incrustado en $\mathbb{P}^2$ y se cruzan con una línea proyectiva que no cumple con ese origen). Así que me refiero, en particular, el producto de más de $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ (o $\operatorname{Spec} k$ para las variedades).
También sé de una cerca de ejemplo en el que el producto es permitido ser "torcido", como en un fibration / localmente un producto, aunque en este caso las fibras son afines, a saber: $GL_2(\mathbb{C}) \to \mathbb{CP}^1$. (Aquí el mapa es la inducida por la acción natural. Las fibras son la invertible triangular superior matrices, etc.) (En este ejemplo realmente no puede ser refinado para una respuesta a mi pregunta original, por las razones de que el párrafo siguiente).
Otra vaga conclusión: Supongamos que existe algún mapa en $X \to X \times_{\mathbb{Z}} Y$ que la inducida por la identidad en $X$ y algunas mapa de $X \to Y$ (supongamos que estamos trabajando con $k$-planes y $Y$ $k$ punto... o alguna otra condición para garantizar que este mapa realmente existe), que es un cerrado de incrustación - por ejemplo, cuando se $Y$ es separado (creo $Y$ tiene que ser separados para que esto sea un cerrado la incorporación, pero tal vez estoy overthinking: si $Y$ está separado, a continuación, $X \times_{\mathbb{Z}} Y \to X$ está separado, y $X \to X \times Y \to X$ es la identidad, por lo que es un cerrado de incrustación y para la Cancelación de Teorema - 10.1.19 en Ravi - se aplica).
Entonces, si el producto es afín necesariamente debe ser el caso que $X$ (e $Y$) "un montón" de funciones (en relación a "el tamaño" de $X$ $Y$ - estoy dibujando en la intuición de que la única global de las secciones en las variedades de $k$). Por lo que no puede ser, por ejemplo, las variedades.
A partir de esto, quiero decir que un ejemplo (si es que existe) es probable que haga cosas tontas como $\mathbb{A}^2$ (o creo que más generalmente algún $dim \geq 2$ Noetherian normal afín esquema de menos algún vacío codimension $\geq 2$?). O tal vez en parte el problema aquí es que mi repertorio de no afín a los esquemas se limita básicamente cuasi-variedades proyectivas (y divertido patologías que se construye fuera de la $\operatorname{Spec} k[x_0, x_1, \ldots]$)
Esos son los pensamientos que he tenido. No sé una buena forma de medir no affineness en general..., Salvo que el superior cohomology de cuasi coherente de las poleas debe desaparecer.... pero esto no es algo que me "conocen" todavía, así que me siento incómodo invocar por ahora. He encontrado a través de google que esta es una unidad de criterio para affineness bajo condiciones agradables: http://mathoverflow.net/questions/153523/does-vanishing-of-cohomology-of-locally-free-sheaves-imply-affiness-of-scheme
Así que tal vez una combinación de Kunneth fórmula como cálculos sería suficiente para probar que esto no puede suceder (estoy secretamente pensando en la idea de matemáticas de desbordamiento post: http://mathoverflow.net/questions/60375/is-mathbb-r3-the-square-of-some-topological-space ).
Gracias por su paciencia!!!
