La convergencia débil en la probabilidad implica la convergencia uniforme en las funciones de distribución

Question

Ejercicio 1: Dejemos que $\mu_n$ , $\mu$ sean medidas de probabilidad sobre $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)\right)$ con funciones de distribución $F_n$ , $F$ . Mostrar: Si $\left(\mu_n\right)$ converge débilmente a $\mu$ y $F$ es continua, entonces $\left(F_n\right)$ converge uniformemente en $\mathbb{R}$ a $F$ .

Este es un problema en el que estoy totalmente atascado. Sé que el hecho de que $F_n$ converge puntualmente a $F$ en esta pregunta. Además, busqué en Google y descubrí que tengo que demostrar primero que $F_{n}(t_{n})$ converge a $F(t)$ si $t_{n}$ converge a $t$ . Pero, por mucho que lo intente, sigo sin poder demostrar el hecho. Además, no tengo ni idea de cómo utilizar el hecho para obtener la convergencia uniforme. Así que estoy bloqueado.

¿Podría alguien ayudarme con esto?

Añadir : He conseguido demostrar que $F_n$ converge uniformemente a $F$ en cualquier intervalo compacto. Sin embargo, la generalización a toda la recta real aún no está resuelta... ¿Alguien podría al menos ayudarme con la generalización a la recta real?

Answer 1

Fijar $\epsilon>0$ . Desde $F$ es una función de distribución, existe $R >0$ tal que $F(r) \leq \epsilon$ para todos $r \leq -R$ y $F(r) \geq 1-\epsilon$ para todos $r \geq R$ . Como $F_n \to F$ en el sentido de la palabra, podemos elegir $N \in \mathbb{N}$ tal que

$$|F_n(-R) - F(-R)| \leq \epsilon \qquad \text{and} \qquad |F_n(R)-F(R)| \leq \epsilon$$

para todos $n \geq N$ . Por lo tanto, por la monotonicidad de $F_n$ y $F$ ,

$$\begin{align*} |F_n(r)-F(r)| \leq |F_n(r)|+|F(r)| &\leq F_n(-R)+F(-R) \\ &= (F_n(-R)-F(-R)) + 2 F(-R) \\ &\leq 3\epsilon \tag{1} \end{align*}$$

para todos $r \leq -R$ . Del mismo modo, se deduce de

$$1 \geq F_n(r) \geq F_n(R) = (F_n(R)-F(R))+F(R) \geq 1-2\epsilon, \qquad r \geq R,$$

que

$$|F_n(r)-F(r)| \leq |F_n(r)-(1-\epsilon))|+ |F(r)-(1-\epsilon)| \leq 2 \epsilon \tag{2}$$

para todos $r \geq R$ . Combinando $(1)$ y $(2)$ produce

$$\sup_{r \in [-R,R]^c} |F_n(r)-F(r)| \leq 3 \epsilon$$

para todos $n \geq N$ . Como ya ha demostrado que $F_n$ converge a $F$ uniformemente en intervalos compactos, existe $N' \in \mathbb{N}$ tal que

$$\sup_{r \in [-R,R]} |F_n(r)-F(r)| \leq \epsilon$$

para todos $n \geq N'$ . Configuración $\tilde{N} := \max\{N,N'\}$ obtenemos

$$\sup_{r \in \mathbb{R}} |F_n(r)-F(r)| \leq 3 \epsilon \qquad \text{for all $ n \geq N $}.$$

Answer 2

Aquí hay otra prueba para el caso compacto que me parece un poco más intuitiva. Se trata de demostrar que $F_n \rightarrow F$ uniformemente en un intervalo cerrado arbitrario $[a,b]$ .

Fijar $\epsilon > 0$ . Dejemos que $d = F(b)-F(a)$ y tomar $k$ lo suficientemente grande como para que $\frac{d}{k} \leq \frac{\epsilon}{5}$ . Por la continuidad de $F$ podemos aplicar el teorema del valor intermedio para demostrar que existen números reales $a := x_0 < x_1 < ... < x_k := b$ tal que $F(x_i) = F(a) + i\frac{d}{k}$ para cada $i \in \{0,1,...,k\}$ .

Desde $F_n \rightarrow F$ en el sentido de la palabra, para cada $i$ en $\{0,1,...,k\}$ existe $N_i$ tal que $|F_n(x_i)-F(x_i)| \leq \frac{\epsilon}{5}$ para todos $n \geq N_i$ . Tomando $N = \max(N_0,N_1,...,N_k)$ concluimos que $|F_n(x_i)-F(x_i)| \leq \frac{\epsilon}{5}$ para todos $n \geq N$ , $i \in \{0,1,...,k\}$ . Esto da $F_n(x_{i+1})-F_n(x_i) \leq |F_n(x_{i+1})-F(x_{i+1})| + |F(x_{i+1})-F(x_i)| + |F(x_i)-F_n(x_i)| \leq \frac{\epsilon}{5} + \frac{d}{k} + \frac{\epsilon}{5} \leq \frac{3\epsilon}{5}$

Para cualquier $x \in [a,b)$ tenemos $x_i \leq x < x_{i+1}$ para algunos $i \in \{0,1,...,k\}$ . Entonces, para todos los $n \geq N$ tenemos $$ \begin{align} |F_n(x)-F(x)| & \leq |F_n(x)-F_n(x_i)| + |F_n(x_i) - F(x_i)| + |F(x_i)-F(x)| \\\\ & \leq |F_n(x_{i+1})-F_n(x_i)| + |F_n(x_i)-F(x_i)| + |F(x_{i+1})-F(x)| \\\\ & \leq \frac{3\epsilon}{5} + \frac{\epsilon}{5} + \frac{d}{k} \\\\ & \leq \epsilon \\\\ \end{align} $$ donde la segunda desigualdad utiliza la monotonicidad de $F$ y $F_n$ .

Por supuesto, $|F_n(b)-F(b)| \leq \frac{\epsilon}{5} \leq \epsilon$ desde $b = x_k$ .

Así, hemos demostrado $|F_n(x)-F(x)| \leq \frac{5\epsilon}{3}$ para todos $x \in [a,b]$ , concluyendo la prueba.