Prueba de "historia" para $\frac{(2n)!}{2^nn!}=(2n-1)(2n-3)\cdots3\cdot1$

Question

Entiendo intuitivamente cómo funciona esto si la historia es que estás contando cada manera de emparejar a cada miembro de un grupo de tamaño $(2n)!$ . Pero, estoy teniendo problemas para caminar a través del cálculo y la justificación de cada paso, especialmente para el $2^n$ plazo.

Ejemplo: $n=2$

Por ejemplo, si el grupo está formado por $4$ personas, $n=2$ y la solución es $3$ . Esto tiene sentido a partir de los siguientes cálculos escalonados:

1. Contar las permutaciones de grupos de tamaño $n$ tomado de $2n$ es $\frac{(2n!)}{n!}=\frac{(2\cdot2)!)}{2!}=12$ .
2. Lo dividimos por $2^1$ porque "asignamos" la mitad de las permutaciones a la otra mitad. Piensa: cada "equipo" es una permutación, y necesitamos que cada "equipo" se enfrente a otro "equipo" (es decir, una permutación que no tenga los mismos elementos de la anterior permutación con la que se empareja). (Por ejemplo, AB "emparejado" con CD). Estos emparejamientos se denominan "juegos". Por lo tanto, $\frac{12}{2}=6$ .
3. Entonces, ahora vemos que hemos contado todos los "juegos" y tenemos que deshacernos de los "juegos" duplicados. Dividimos por $2^1$ de nuevo porque cada forma de emparejar los miembros constituyentes de un "juego" se cuenta dos veces. Si llevas la cuenta en casa, hemos explicado la $2^n$ para este ejemplo. Vea a continuación los duplicados:

AB CD es lo mismo que BA DC.
BC AD es lo mismo que CB DA.
BD CA es lo mismo que DB AC.

Hemos llegado a la respuesta: $3=(2(2)-1)(2(2)-3)=3\cdot1$ . Hasta aquí, todo bien. Probemos con otro ejemplo fácil.

Ejemplo: $n=3$ ... AKA donde me atasco.

1. Lo mismo que en el caso anterior.
2. Todo bien aquí. Lo tengo hasta $\frac{((2\cdot3)!)}{2^1\cdot3!}=60$ . Sé que la respuesta es $15$ .
3. Aquí es donde se me caen los anillos. Tengo los "juegos", pero no tengo ni idea de por qué estamos dividiendo por $2^2$ . Se me ha ocurrido que la segunda vez que dividí por $2$ en el ejemplo anterior (donde $n=2$ ), fue $2!=2^1$ que elimina todos los "juegos" duplicados. Por lo tanto, esta vez sigo queriendo dividir por $6!$ para eliminar los "juegos" duplicados, pero sé que esto es erróneo y que no es la "historia" en sí (es decir, la "historia" es cuántas formas de emparejar a las personas en un grupo de $(2n)!$ )

Espero que esto tenga sentido y que alguien pueda aclarar por qué hay redundancia en el recuento de los juegos (es decir, cada "juego" único se cuenta $2^2=4$ veces). ¿Cómo mostraría esto si algunos de los "juegos" se hicieran explícitos/conteo manual (como hice en el ejemplo anterior)?

Gracias a todos por adelantado.

Answer 1

Hay $(2n)!$ formas de alinear el $2n$ personas en dos filas enfrentadas de $n$ . Por ejemplo, si $n=3$ y el pueblo es $1,2,3,4,5$ y $6$ y comenzamos con la permutación $253461$ Podemos alinearlos así:

$$\begin{array}{ccc} 2&5&3\\ 4&6&1 \end{array}\tag{1}$$

Aquí $2$ y $4$ se enfrentan entre sí, $5$ y $6$ se enfrentan entre sí, y $3$ y $1$ se enfrentan entre sí.

Esto produce $n$ pares enfrentados; en mi pequeño ejemplo los pares son $\{2,4\},\{5,6\}$ y $\{1,3\}$ . Sin embargo, hay muchas otras formas de producir el mismo conjunto de pares. En primer lugar, podemos permutar los $n$ columnas (pares) en cualquiera de $n!$ diferentes órdenes. En mi ejemplo eso nos da lo siguiente $3!=6$ diferentes arreglos:

$$\begin{array}{ccc} 2&5&3\\ 4&6&1 \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc} 2&3&5\\ 4&1&6 \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc} 5&2&3\\ 6&4&1 \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc} 5&3&2\\ 6&1&4 \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc} 3&2&5\\ 1&4&6 \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc} 3&5&2\\ 1&6&4 \end{array}$$

Estos corresponden a la $6$ permutaciones $253461$ , $235416$ , $523641$ , $325146$ y $352164$ .

Por lo tanto, hay al menos $n!$ diferentes permutaciones de la $2n$ personas que conducen al mismo $n$ pares. Pero en realidad hay más: en cada columna podemos intercambiar los miembros superiores e inferiores del par. La disposición original $(1)$ conduce de esta manera a $2^3$ posibles arreglos, ya que podemos cambiar la parte superior e inferior de cualquiera de los $2^3$ posibles conjuntos de pares. Estos arreglos son:

$$\begin{array}{ccc} 2&5&3\\ 4&6&1 \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc} 4&5&3\\ 2&6&1 \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc} 2&6&3\\ 4&5&1 \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc} 2&5&1\\ 4&6&3 \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc} 4&6&3\\ 2&5&1 \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc} 4&5&1\\ 2&6&3 \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc} 2&6&1\\ 4&5&3 \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc} 4&6&1\\ 2&5&3 \end{array}$$

Corresponden a las permutaciones $253461$ , $453261$ , $263451$ y así sucesivamente.

Así, cada posible división del $2n$ personas en $n$ pares surge de $2^nn!$ diferentes permutaciones de la $2n$ personas: cada permutación produce una alineación como $(1)$ y entonces podemos permutar las columnas en cualquiera de $n!$ diferentes formas y cambiar algunos elementos superiores e inferiores en $2^n$ diferentes formas de conseguir $2^nn!$ diferentes alineaciones. Estos $2^nn!$ alineaciones son las únicas que producen este particular emparejamiento del $2n$ personas, por lo que el $(2n)!$ las permutaciones cuentan cada emparejamiento exactamente $2^nn!$ veces, y hay

$$\frac{(2n)!}{2^nn!}$$

posibles emparejamientos.

Para obtener el lado derecho, numere el $2n$ personas $1$ a través de $2n$ . Hay $2n-1$ formas de elegir un socio para $1$ . Ahora elimine $1$ y $1$ 's partner; hay $2n-2$ gente que queda, así que hay $2n-3$ maneras de elegir una pareja para la persona con el menor número restante. Ahora elimina esta pareja para dejar $2n-4$ personas; hay $2n-5$ maneras de elegir una pareja para la persona con el menor número restante. Continúe de esta manera para ver que hay

$$(2n-1)(2n-3)\ldots(3)(1)$$

formas de emparejar el $2n$ personas.

Answer 2

Dividimos por $n!$ porque el orden de los $n$ grupos es irrelevante. Dividimos por $2^n$ porque para cada uno de los $n$ parejas, el orden de las personas en la pareja también es irrelevante.

Answer 3

Dejemos que $S$ sea un conjunto con $2n$ elementos, de modo que $(2n)!$ es el número de permutaciones de $S$ .

Dividiendo por $2^n$ produce $\frac{(2n)!}{2^n}$ el número de particiones ordenadas de $S$ en $n$ pares.

Entonces, dividiendo por $n!$ produce $\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}$ el número de particiones desordenadas de $S$ en $n$ pares.

---

Para $n=3$ , dejemos que $S=\{\textsf{A,B,C,D,E,F}\}$ . Entonces el $720$ permutaciones de $S$ son

(A, B, C, D, E, F)
(A, B, C, D, F, E)
(A, B, C, E, D, F)
(A, B, C, E, F, D)
(A, B, C, F, D, E)
(A, B, C, F, E, D)
(A, B, D, C, E, F)
(A, B, D, C, F, E)
(A, B, D, E, C, F)
(A, B, D, E, F, C)
(A, B, D, F, C, E)
(A, B, D, F, E, C)
(A, B, E, C, D, F)
(A, B, E, C, F, D)
(A, B, E, D, C, F)
(A, B, E, D, F, C)
(A, B, E, F, C, D)
(A, B, E, F, D, C)
(A, B, F, C, D, E)
(A, B, F, C, E, D)
(A, B, F, D, C, E)
(A, B, F, D, E, C)
(A, B, F, E, C, D)
(A, B, F, E, D, C)
(A, C, B, D, E, F)
(A, C, B, D, F, E)
(A, C, B, E, D, F)
(A, C, B, E, F, D)
(A, C, B, F, D, E)
(A, C, B, F, E, D)
(A, C, D, B, E, F)
(A, C, D, B, F, E)
(A, C, D, E, B, F)
(A, C, D, E, F, B)
(A, C, D, F, B, E)
(A, C, D, F, E, B)
(A, C, E, B, D, F)
(A, C, E, B, F, D)
(A, C, E, D, B, F)
(A, C, E, D, F, B)
(A, C, E, F, B, D)
(A, C, E, F, D, B)
(A, C, F, B, D, E)
(A, C, F, B, E, D)
(A, C, F, D, B, E)
(A, C, F, D, E, B)
(A, C, F, E, B, D)
(A, C, F, E, D, B)
(A, D, B, C, E, F)
(A, D, B, C, F, E)
(A, D, B, E, C, F)
(A, D, B, E, F, C)
(A, D, B, F, C, E)
(A, D, B, F, E, C)
(A, D, C, B, E, F)
(A, D, C, B, F, E)
(A, D, C, E, B, F)
(A, D, C, E, F, B)
(A, D, C, F, B, E)
(A, D, C, F, E, B)
(A, D, E, B, C, F)
(A, D, E, B, F, C)
(A, D, E, C, B, F)
(A, D, E, C, F, B)
(A, D, E, F, B, C)
(A, D, E, F, C, B)
(A, D, F, B, C, E)
(A, D, F, B, E, C)
(A, D, F, C, B, E)
(A, D, F, C, E, B)
(A, D, F, E, B, C)
(A, D, F, E, C, B)
(A, E, B, C, D, F)
(A, E, B, C, F, D)
(A, E, B, D, C, F)
(A, E, B, D, F, C)
(A, E, B, F, C, D)
(A, E, B, F, D, C)
(A, E, C, B, D, F)
(A, E, C, B, F, D)
(A, E, C, D, B, F)
(A, E, C, D, F, B)
(A, E, C, F, B, D)
(A, E, C, F, D, B)
(A, E, D, B, C, F)
(A, E, D, B, F, C)
(A, E, D, C, B, F)
(A, E, D, C, F, B)
(A, E, D, F, B, C)
(A, E, D, F, C, B)
(A, E, F, B, C, D)
(A, E, F, B, D, C)
(A, E, F, C, B, D)
(A, E, F, C, D, B)
(A, E, F, D, B, C)
(A, E, F, D, C, B)
(A, F, B, C, D, E)
(A, F, B, C, E, D)
(A, F, B, D, C, E)
(A, F, B, D, E, C)
(A, F, B, E, C, D)
(A, F, B, E, D, C)
(A, F, C, B, D, E)
(A, F, C, B, E, D)
(A, F, C, D, B, E)
(A, F, C, D, E, B)
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(A, F, C, E, D, B)
(A, F, D, B, C, E)
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(B, C, D, F, A, E)
(B, C, D, F, E, A)
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(D, C, B, A, F, E)
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(E, A, B, C, D, F)
(E, A, B, C, F, D)
(E, A, B, D, C, F)
(E, A, B, D, F, C)
(E, A, B, F, C, D)
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(E, A, C, F, B, D)
(E, A, C, F, D, B)
(E, A, D, B, C, F)
(E, A, D, B, F, C)
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(E, A, D, C, F, B)
(E, A, D, F, B, C)
(E, A, D, F, C, B)
(E, A, F, B, C, D)
(E, A, F, B, D, C)
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(E, B, C, F, D, A)
(E, B, D, A, C, F)
(E, B, D, A, F, C)
(E, B, D, C, A, F)
(E, B, D, C, F, A)
(E, B, D, F, A, C)
(E, B, D, F, C, A)
(E, B, F, A, C, D)
(E, B, F, A, D, C)
(E, B, F, C, A, D)
(E, B, F, C, D, A)
(E, B, F, D, A, C)
(E, B, F, D, C, A)
(E, C, A, B, D, F)
(E, C, A, B, F, D)
(E, C, A, D, B, F)
(E, C, A, D, F, B)
(E, C, A, F, B, D)
(E, C, A, F, D, B)
(E, C, B, A, D, F)
(E, C, B, A, F, D)
(E, C, B, D, A, F)
(E, C, B, D, F, A)
(E, C, B, F, A, D)
(E, C, B, F, D, A)
(E, C, D, A, B, F)
(E, C, D, A, F, B)
(E, C, D, B, A, F)
(E, C, D, B, F, A)
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(E, C, F, A, D, B)
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(E, D, B, F, C, A)
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(E, D, C, A, F, B)
(E, D, C, B, A, F)
(E, D, C, B, F, A)
(E, D, C, F, A, B)
(E, D, C, F, B, A)
(E, D, F, A, B, C)
(E, D, F, A, C, B)
(E, D, F, B, A, C)
(E, D, F, B, C, A)
(E, D, F, C, A, B)
(E, D, F, C, B, A)
(E, F, A, B, C, D)
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(E, F, A, C, B, D)
(E, F, A, C, D, B)
(E, F, A, D, B, C)
(E, F, A, D, C, B)
(E, F, B, A, C, D)
(E, F, B, A, D, C)
(E, F, B, C, A, D)
(E, F, B, C, D, A)
(E, F, B, D, A, C)
(E, F, B, D, C, A)
(E, F, C, A, B, D)
(E, F, C, A, D, B)
(E, F, C, B, A, D)
(E, F, C, B, D, A)
(E, F, C, D, A, B)
(E, F, C, D, B, A)
(E, F, D, A, B, C)
(E, F, D, A, C, B)
(E, F, D, B, A, C)
(E, F, D, B, C, A)
(E, F, D, C, A, B)
(E, F, D, C, B, A)
(F, A, B, C, D, E)
(F, A, B, C, E, D)
(F, A, B, D, C, E)
(F, A, B, D, E, C)
(F, A, B, E, C, D)
(F, A, B, E, D, C)
(F, A, C, B, D, E)
(F, A, C, B, E, D)
(F, A, C, D, B, E)
(F, A, C, D, E, B)
(F, A, C, E, B, D)
(F, A, C, E, D, B)
(F, A, D, B, C, E)
(F, A, D, B, E, C)
(F, A, D, C, B, E)
(F, A, D, C, E, B)
(F, A, D, E, B, C)
(F, A, D, E, C, B)
(F, A, E, B, C, D)
(F, A, E, B, D, C)
(F, A, E, C, B, D)
(F, A, E, C, D, B)
(F, A, E, D, B, C)
(F, A, E, D, C, B)
(F, B, A, C, D, E)
(F, B, A, C, E, D)
(F, B, A, D, C, E)
(F, B, A, D, E, C)
(F, B, A, E, C, D)
(F, B, A, E, D, C)
(F, B, C, A, D, E)
(F, B, C, A, E, D)
(F, B, C, D, A, E)
(F, B, C, D, E, A)
(F, B, C, E, A, D)
(F, B, C, E, D, A)
(F, B, D, A, C, E)
(F, B, D, A, E, C)
(F, B, D, C, A, E)
(F, B, D, C, E, A)
(F, B, D, E, A, C)
(F, B, D, E, C, A)
(F, B, E, A, C, D)
(F, B, E, A, D, C)
(F, B, E, C, A, D)
(F, B, E, C, D, A)
(F, B, E, D, A, C)
(F, B, E, D, C, A)
(F, C, A, B, D, E)
(F, C, A, B, E, D)
(F, C, A, D, B, E)
(F, C, A, D, E, B)
(F, C, A, E, B, D)
(F, C, A, E, D, B)
(F, C, B, A, D, E)
(F, C, B, A, E, D)
(F, C, B, D, A, E)
(F, C, B, D, E, A)
(F, C, B, E, A, D)
(F, C, B, E, D, A)
(F, C, D, A, B, E)
(F, C, D, A, E, B)
(F, C, D, B, A, E)
(F, C, D, B, E, A)
(F, C, D, E, A, B)
(F, C, D, E, B, A)
(F, C, E, A, B, D)
(F, C, E, A, D, B)
(F, C, E, B, A, D)
(F, C, E, B, D, A)
(F, C, E, D, A, B)
(F, C, E, D, B, A)
(F, D, A, B, C, E)
(F, D, A, B, E, C)
(F, D, A, C, B, E)
(F, D, A, C, E, B)
(F, D, A, E, B, C)
(F, D, A, E, C, B)
(F, D, B, A, C, E)
(F, D, B, A, E, C)
(F, D, B, C, A, E)
(F, D, B, C, E, A)
(F, D, B, E, A, C)
(F, D, B, E, C, A)
(F, D, C, A, B, E)
(F, D, C, A, E, B)
(F, D, C, B, A, E)
(F, D, C, B, E, A)
(F, D, C, E, A, B)
(F, D, C, E, B, A)
(F, D, E, A, B, C)
(F, D, E, A, C, B)
(F, D, E, B, A, C)
(F, D, E, B, C, A)
(F, D, E, C, A, B)
(F, D, E, C, B, A)
(F, E, A, B, C, D)
(F, E, A, B, D, C)
(F, E, A, C, B, D)
(F, E, A, C, D, B)
(F, E, A, D, B, C)
(F, E, A, D, C, B)
(F, E, B, A, C, D)
(F, E, B, A, D, C)
(F, E, B, C, A, D)
(F, E, B, C, D, A)
(F, E, B, D, A, C)
(F, E, B, D, C, A)
(F, E, C, A, B, D)
(F, E, C, A, D, B)
(F, E, C, B, A, D)
(F, E, C, B, D, A)
(F, E, C, D, A, B)
(F, E, C, D, B, A)
(F, E, D, A, B, C)
(F, E, D, A, C, B)
(F, E, D, B, A, C)
(F, E, D, B, C, A)
(F, E, D, C, A, B)
(F, E, D, C, B, A)

El $90$ particiones ordenadas de $S$ en $3$ pares son

({A,B}, {C,D}, {E,F})
({A,B}, {C,E}, {D,F})
({A,B}, {C,F}, {E,D})
({A,B}, {E,D}, {C,F})
({A,B}, {D,F}, {C,E})
({A,B}, {E,F}, {C,D})
({A,C}, {B,D}, {E,F})
({A,C}, {B,E}, {D,F})
({A,C}, {B,F}, {E,D})
({A,C}, {E,D}, {B,F})
({A,C}, {D,F}, {B,E})
({A,C}, {E,F}, {B,D})
({A,D}, {C,B}, {E,F})
({A,D}, {B,E}, {C,F})
({A,D}, {B,F}, {C,E})
({A,D}, {C,E}, {B,F})
({A,D}, {C,F}, {B,E})
({A,D}, {E,F}, {C,B})
({A,E}, {C,B}, {D,F})
({A,E}, {B,D}, {C,F})
({A,E}, {B,F}, {C,D})
({A,E}, {C,D}, {B,F})
({A,E}, {C,F}, {B,D})
({A,E}, {D,F}, {C,B})
({A,F}, {C,B}, {E,D})
({A,F}, {B,D}, {C,E})
({A,F}, {B,E}, {C,D})
({A,F}, {C,D}, {B,E})
({A,F}, {C,E}, {B,D})
({A,F}, {E,D}, {C,B})
({C,B}, {A,D}, {E,F})
({C,B}, {A,E}, {D,F})
({C,B}, {A,F}, {E,D})
({C,B}, {E,D}, {A,F})
({C,B}, {D,F}, {A,E})
({C,B}, {E,F}, {A,D})
({B,D}, {A,C}, {E,F})
({B,D}, {A,E}, {C,F})
({B,D}, {A,F}, {C,E})
({B,D}, {C,E}, {A,F})
({B,D}, {C,F}, {A,E})
({B,D}, {E,F}, {A,C})
({B,E}, {A,C}, {D,F})
({B,E}, {A,D}, {C,F})
({B,E}, {A,F}, {C,D})
({B,E}, {C,D}, {A,F})
({B,E}, {C,F}, {A,D})
({B,E}, {D,F}, {A,C})
({B,F}, {A,C}, {E,D})
({B,F}, {A,D}, {C,E})
({B,F}, {A,E}, {C,D})
({B,F}, {C,D}, {A,E})
({B,F}, {C,E}, {A,D})
({B,F}, {E,D}, {A,C})
({C,D}, {A,B}, {E,F})
({C,D}, {A,E}, {B,F})
({C,D}, {A,F}, {B,E})
({C,D}, {B,E}, {A,F})
({C,D}, {B,F}, {A,E})
({C,D}, {E,F}, {A,B})
({C,E}, {A,B}, {D,F})
({C,E}, {A,D}, {B,F})
({C,E}, {A,F}, {B,D})
({C,E}, {B,D}, {A,F})
({C,E}, {B,F}, {A,D})
({C,E}, {D,F}, {A,B})
({C,F}, {A,B}, {E,D})
({C,F}, {A,D}, {B,E})
({C,F}, {A,E}, {B,D})
({C,F}, {B,D}, {A,E})
({C,F}, {B,E}, {A,D})
({C,F}, {E,D}, {A,B})
({E,D}, {A,B}, {C,F})
({E,D}, {A,C}, {B,F})
({E,D}, {A,F}, {C,B})
({E,D}, {C,B}, {A,F})
({E,D}, {B,F}, {A,C})
({E,D}, {C,F}, {A,B})
({D,F}, {A,B}, {C,E})
({D,F}, {A,C}, {B,E})
({D,F}, {A,E}, {C,B})
({D,F}, {C,B}, {A,E})
({D,F}, {B,E}, {A,C})
({D,F}, {C,E}, {A,B})
({E,F}, {A,B}, {C,D})
({E,F}, {A,C}, {B,D})
({E,F}, {A,D}, {C,B})
({E,F}, {C,B}, {A,D})
({E,F}, {B,D}, {A,C})
({E,F}, {C,D}, {A,B})

El $15$ particiones desordenadas de $S$ en $3$ pares son

{{A,B}, {C,D}, {E,F}}
{{A,B}, {C,E}, {D,F}}
{{A,B}, {C,F}, {E,D}}
{{A,C}, {B,D}, {E,F}}
{{A,C}, {B,E}, {D,F}}
{{A,C}, {B,F}, {E,D}}
{{A,D}, {C,B}, {E,F}}
{{A,D}, {B,E}, {C,F}}
{{A,D}, {B,F}, {C,E}}
{{A,E}, {C,B}, {D,F}}
{{A,E}, {B,D}, {C,F}}
{{A,E}, {B,F}, {C,D}}
{{A,F}, {C,B}, {E,D}}
{{A,F}, {B,D}, {C,E}}
{{A,F}, {B,E}, {C,D}}

Answer 4

$n = 3$

Tenemos $6$ personas. Hay ${6\choose 2}$ formas de hacer el primer pareo. Eso deja 4 para emparejar, los emparejamos. Y el último par cae en su lugar.

${6\choose 2}{4\choose 2}{2\choose 2} = \frac {6!}{(2!)(2!)(2!)} = \frac {6!}{2^3}$

Pero esto sugiere que la primera pareja emparejada es distinta de la segunda pareja emparejada, y no nos importan estas permutaciones.

$\frac {6!}{2^3(3!)}$

¿Se puede abstraer de aquí a grupos más grandes?

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