Tengo curiosidad por saber de dónde has sacado esta pregunta; es el tipo de cosa que a la gente (bueno, al menos a una persona) le gusta poner como ejercicio cuando da un curso de posgrado sobre álgebras de Banach.
De todos modos: una forma alternativa de ver eso $A(U)$ no es álgebra isomorfa al álgebra del disco es mirar sus grupos de elementos invertibles.
Todo elemento invertible del álgebra del disco tiene un logaritmo dentro del álgebra: es decir, si $f\in A(\overline{\mathbb D})$ es invertible, entonces $f=e^g$ para algunos $g\in A(\overline{\mathbb D})$ . (En particular, el grupo de elementos invertibles en $A({\mathbb D})$ está conectado a la ruta).
Por otro lado, consideremos el siguiente elemento de $A(\overline{U})$ : dejar $f(z)=z$ . Es evidente que es invertible en $A(\overline{U})$ . Por otro lado, si $g\in A(\overline{U})$ y $f=e^g$ entonces la restricción de $g$ al círculo de radio $3/2$ sería un logaritmo continuo de un solo valor en ese círculo, lo que es imposible por razones topológicas. (Llevando este argumento más allá, uno encuentra que el grupo de elementos invertibles en $A(\overline{U})$ no está conectado).
Para saber más sobre este tema, busque el "teorema de Arens-Royden". Dicho todo esto, la respuesta de Faisal es, con mucho, la forma más sencilla y ordenada de enfocar el problema.
