Duda sobre la prueba de la factorización de la $f=pi$ donde $i$ es acíclicos cofibration y $p$ es fibration

Question

Yo trato de entender de una prueba en Más Concisa Topología Algebraica: Localización, las terminaciones y el modelo de categorías de Mayo Y Ponto (pdf). La prueba está en la página 262, y es por la declaración de

Cualquier mapa de $f:X\to Y$ factores como el compuesto de una acíclicos cofibration y un fibration

Los autores proceder de la siguiente manera. Deje $Z_0=X$$\rho_0=f$. Asumimos de forma inductiva que hemos construido un mapa de $\rho_n:Z_n\to Y$. Definimos $N\rho_n$ como la retirada de $Y^I\to Y\leftarrow Z_n$. Donde el primer mapa es $\varepsilon_0$ (evaluación en $0$). El compuesto $N\rho_n\to Y^I\to Y$ también puede ser escrito como $N\rho_n\to N\rho_n\times I\to Y$ donde el primer mapa es la inclusión en $0$ y el segundo mapa es el complemento del mapa $N\rho_n\to Y^I$. Si ahora nos definen $Z_{n+1}$ como el pushout de $N\rho_n\times I\leftarrow N\rho_n\to Z_n$, esto induce a un único mapa $\rho_{n+1}:Z_{n+1}\to Y$ la realización de ciertos triángulos viaje. Por primera $n$, me han mostrado los diversos derivados de los mapas en el siguiente diagrama. Espero que no sea demasiado confuso, las flechas deben ser considerados como evoluciona hacia la parte delantera para aumentar el $n$.

Deje $Z$ ser el colimit de la secuencia de $Z_0\hookrightarrow Z_1\hookrightarrow \dots$, $\nu:Z_0\hookrightarrow Z$ con la inclusión en este colimit. Ya que todos los mapas de $\nu_n$ son acíclicos cofibrations, por lo que es $\nu$. Si $\rho:Z\to Y$ indica el mapa inducida por la $\rho_n$,$\rho\nu=f$, por lo que es suficiente para mostrar que $\rho$ es un fibration. Este es el caso si en la siguiente plaza hay un ascensor, donde $N\rho$ es el retroceso del diagrama de $Y^I\to Y\leftarrow Z$.

Se puede demostrar que, dado que estamos trabajando en la categoría de la debilidad de Hausdorff $k$-espacios, la canónica mapa de $\text{colim}N\rho_n\to N\rho$ es un homeomorphism. También, $\text{colim}(N\rho_n\times I)\cong N\rho\times I$. De esta manera, el mapa de $N\rho\to Z$ es el colimit de los mapas de $N\rho_n\to Z_n$. Así que prácticamente todos los objetos en la plaza son colimits. Ahora, según los autores, la diagonal es inducida por los mapas $\lambda_n:N\rho_n\to Z_{n+1}$. Aquí viene el punto que yo estoy dudoso acerca de: yo no veo por qué la plaza de la con $\lambda_0$ $\lambda_1$ viajes.

De hecho, estoy bastante seguro de que no conmutan: Un punto en $N\rho_0\times I$ es de la forma $(q,z, t)$, que en el mapa de $\lambda_0$ es enviado a su clase de equivalencia y, a continuación, a través de $\nu_1$ a la clase representada por $\left(\overline{q(t)},(q,z,t),0\right)$ (donde la barra indica la constante de ruta), mientras que $(q,z,t)$ es enviado a través de el otro mapa a $\left(q,\left(\overline{\rho_0(z)},z,0\right),t\right)$ y, a continuación, a través de $\lambda_1$ a que elemento de la clase de equivalencia en $Z_2$.

Es allí cualquier manera de cómo se podrían utilizar las construcciones de pushouts pullbacks adquirir la levante?

Answer 1

El problema que se advierte es un artefacto del hecho de que Puede y Ponto parecen haber llegado a su prueba de Cole, de 2006, del papel "Muchos homotopy categorías son homotopy categorías." En Barthel y Riehl de 2013 del papel "En la construcción de functorial factorizations para categorías de modelo," se hace constar que Williamson di cuenta de este error, y en (5.5) y el artículo 6.1 de Barthel y Riehl señalar el mismo problema que tu: Cole de la construcción no se siquiera el trabajo de dos pasos!

Si estoy en lo correcto al pensar que quieres una prueba de que la declaración de la p. 343 de Más concisa topología algebraica, donde la instrucción es para los de la categoría de forma compacta generado (débil Hausdorff) espacios, con el modelo de estructura que consta de Hurewicz fibrations y cofibrations con débil equivalencias ser homotopy equivalencias, entonces creo que Strøm original de la prueba de su 1972 papel "El homotopy categoría es un homotopy categoría" pasa a través de. La construcción es de la siguiente manera (esto se resume en el §2 de Barthel y Riehl).

En primer lugar recordar que la asignación de ruta de espacio $Nf$ $f\colon X \to Y$ se define como la retirada: $$\requieren{AMScd} \begin{CD} Nf @>>> Y^I\\ @VVV @VVV\\ X @>{f}>> Y \end{CD}$$ y que como se dijo en Un breve curso de topología algebraica, p. 48, tenemos una factorización $$X \overset{j}{\longrightarrow} Nf \overset{\pi}{\longrightarrow} Y$$ donde $j$ es un homotopy de equivalencia y $\pi$ es un fibration. El problema es que $j$ no es necesariamente un cofibration, así Strøm factores de $j$ a través de un espacio de $E$ que es el pushout $$\begin{CD} X \times (0,1] @>{j \times \mathrm{id}}>> Nf \times (0,1]\\ @VVV @VVV\\ X \times I @>>> E \end{CD}$$ A partir de este pushout obtener un mapa $E \to Nf \times I$ el uso de los mapas de $Nf \times (0,1] \to Nf \times I$$j \times \mathrm{id}\colon X \times I \to Nf \times I$. Podemos, entonces, el factor de $j$ $$X \overset{i_0}{\longrightarrow} X \times I \longrightarrow E \longrightarrow Nf \times I \longrightarrow Nf$$ Entonces, uno puede mostrar la composición de la $i \colon X \to E$ de los dos primeros mapas es un acíclicos cofibration y que la composición de la $\pi'\colon E \to Nf$ es un fibration, utilizando los Teoremas de 8 y 9 de Strøm, "Nota sobre cofibrations, II." A continuación, $p = \pi \circ \pi'$ es un fibration, y por lo $X \overset{i}{\to} E \overset{p}{\to} Y$ es la factorización de la deseada.

Para solucionar Cole de la construcción en la que originalmente se le preguntó acerca de su pregunta, consulte el resto de Barthel y Riehl del papel; de ahí que la afirmación es Thm. 5.22.

EDIT 1: Puede es consciente del problema como se señaló en un MathOverflow respuesta. En particular, un esquema de la versión de la prueba de la factorización es dado en la p. 1121 del 2014 de papel "Seis estructuras de modelo para la dirección general de los módulos a través de DGAs" por Barthel, Puede, y Riehl.

EDIT 2: he Aquí una prueba de que $\pi'\colon E \to Nf$ es un fibration. Nos muestran esto mediante la verificación de la RLP directamente: considere el diagrama de $$\begin{CD} Z @>g>> E\\ @V{i_0}VV @VV{\pi'}V\\ Z \times I @>G>> Nf \end{CD}$$ Queremos encontrar una diagonal $\overline{G}\colon Z \times I \to E$ hacer el diagrama conmuta. La definición de $$\overline{G}(z,t) = (G(z,t),t + (1-t)\operatorname{pr}_Ig(z))$$ donde $\operatorname{pr}_I\colon E \to I$ es la inducida por el pushout diagrama de $E$ el uso de la segunda proyección de mapas $Nf \times (0,1] \to I$$X \times I \to I$, tenemos $$(\overline{G} \circ i_0)(z) = \overline{G}(z,0) = (G(z,0),\operatorname{pr}_I g(z)) = g(z)$$ y $$(\pi' \circ \overline{G})(z,t) = \pi'(\overline{G}(z,t)) = \pi'(G(z,t),t + (1-t)\operatorname{pr}_Ig(z)) = G(z,t)$$ donde yo creo que es importante recordar que el $E$ es sólo $X \times I$ pegado a $Nf \times (0,1]$ a lo largo de $j \times \operatorname{id}$.

Nota esto es en la prueba de la Proposición. 1 en Strom. También me gustaría mencionar que Puede y Sigurdsson en Parametrizadas homotopy teoría reproducir Strøm del resultado como Thm. 4.4.4 y me parece que no se basa en el (mismo) incorrecta de la prueba debido a Cole que es Thm. 4.4.2.