En $X= {\bf R}^2 - \{ (x_1,0)|\ x_1>0 \}$ definir dos métricas :
$d(x,y) = |x-y|$ y $d_2$ es una métrica de trayectoria.
Entonces $$ d(x,y) \leq d_2(x,y),\ d_2(x,y)\leq C(x,y)d(x,y) $$
Aquí si $x_n=(n,1/n),\ y_n = (n,-1/n),\ n>0$ entonces $$ \lim_{n\rightarrow \infty} C(x_n,y_n) = \infty \ (\ast)$$
Por lo tanto, dos métricas no son equivalentes (recordemos que las normas equivalentes definen las mismas topologías en los espacios normados) Pero definen las mismas topologías.
Aunque no sea equivalente (uniforme), la condición $\ast$ ¿dar las mismas topologías?
Pregunta En un espacio métrico $X$ si tenemos dos métricas s.t. $$ f(x,y)d_2(x,y)\leq d(x,y) \leq g(x,y)d_2(x,y)$$ donde $ f,\ g: X\times X \rightarrow {\bf R}$ son funciones continuas, ¿entonces dan las mismas topologías?
