¿$SL_3(R)$ incrusta en $SL_2(R)$?

Question

¿Existe algún anillo no trivial tal que $SL{3}(R)$ sea isomorfo a un subgrupo de $SL{2}(R)$?

$SL{3}(\mathbb{Z})$ no es una amalgama, y tiene el número incorrecto de elementos de orden $2$ para ser un subgrupo de $SL{2}(\mathbb{Z})$.

¿Hay algún anillo no trivial donde esto ocurra? ¿Cuándo puede esto definitivamente no ocurrir? Estoy tratando de entender si hay algún tipo de noción de dimensión teóricamente aparente de grupo aquí.

Answer 1

Definir una secuencia de grupos $G_i$ y anillos de grupo asociados $R_i=\mathbb{Q}[G_i]$. Para empezar poner $G0=\mathbb{Q}$. A continuación, defina $G{i+1}=SL_3(R_i)$. El grupo $SL_3(R_i)$ es un subgrupo de $SL2(R{i+1})$ porque $G_{i+1}$ es un subgrupo de $SL2(R{i+1})$ (como el grupo de ciertas matrices diagonales). Del mismo modo, $Gi$ es un subgrupo de $G{i+1}$% y, por lo tanto, $Ri$ es un subring de $R{i+1}$. Entonces $R=\bigcup_i R_i$ es el anillo que deseas.

Answer 2

Mi suposición es que no debería ser posible porque $SL_2(R)$ no tendría un subgrupo no no-innilpotente soluble de 3. No estoy seguro de si es cierto que cualquier subgrupo soluble no nilpotente se encontraría en el subgrupo borel, pero imagino que esto es correcto ...