(preguntado por Nathaniel Hellerstein en la junta de preguntas y respuestas de JMM)
¿Existe una función "semi-exponencial" $h(x)$ tal que $h(h(x))=e^x$? ¿Es único? ¿Es analítico?
Pregunta relacionada: ¿Existe una función suave invertible $E$ tal que $E(x+1)=e^{E(x)}$? ¿Es único? Si es así, entonces podemos tomar $h(x)=E(E^{-1}(x)+1/2)$.
Para muchas referencias ver http://reglos.de/lars/ffx.html.
Re: segunda pregunta.
Sí, hay muchos de ellos en una media línea. Simplemente tome cualquier función de aumento suave en $[0,1]$ con la propiedad de que $E(1)$ y $E'1(1)$ tienen valores deseados y extiéndala por la regla anterior. Dado que $E(x) > x$ la función irá aumentando, por lo tanto invertible.
No, no hay ninguno en toda la línea. Para cualquier número $x$, la secuencia $\mathop{\text{ln}} \mathop{\text{ln}} \dots \mathop{\text{ln}} x$ no se puede continuar indefinidamente; en algún momento te encuentras con números negativos.
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