¿Son los racionales homeomórficos a algún poder de los racionales?

Question

Me pregunté, qué espacios tienen la propiedad de que $X^2$ es homeomorfo a $X$. Comencé a mirar algunos ejemplos como $\mathbb{N}^2 \cong \mathbb{N}$, $\mathbb{R}^2\ncong \mathbb{R}, C^2\cong C$ (para el conjunto de cantores $C$). Y luego me quedé atascado, cuando consideré los racionales. Así que la pregunta es:

¿Es $\mathbb{Q}^2$ homeomorfo a $\mathbb{Q}$?

Answer 1

Sí, Sierpinski demostró que cada métrica contable el espacio sin puntos aislados es homeomorfo a los racionales: http://at.yorku.ca/p/a/c/a/25.htm .

Una consecuencia divertida del teorema de Sierpinski es que $\mathbb{Q}$ es homeomorfo a $\mathbb{Q}$. Por supuesto aquí uno $\mathbb{Q}$ tiene la topología de orden y la otra tiene el $p$-adic topología (para tu primo favorito $p$) :-)

Answer 2

Sí, son homeomórficos. Para construir un homeomorfismo de $\mathbb Q$ a $\mathbb Q^2$, se puede proceder aproximadamente de la siguiente manera: expresar $q\in \mathbb Q$ como una fracción continua $[a_0, a_1,a_2,...]$ (de longitud finita) y asociar con ella el par $([a_0,a_2,...], [a_1,a_3,...])$.

Tenga en cuenta que esto es un homeomorfismo, pero no una isometría (cf. comentario sobre la respuesta de Tom).

Recuerdo vagamente que hay un teorema ceneral en la topología de conjuntos de puntos que establece que todos los espacios topológicos coutables "del mismo tipo que $\mathbb Q$" son homeomorfos.

Answer 3

No lo creo: la finalización de $\mathbb{Q}^2$ es $\mathbb{R}^2$, de modo que un homeomorfismo $\mathbb{Q}^2\to\mathbb{Q}$ daría un homeomorfismo $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$?