Sea una parábola con un vértice de $T(5,\frac{1}{2})$ y con el eje x forma un ángulo de 45 grados. Encuentra el punto por el que pasa.

Question

He intentado hacer un montón de cosas para conseguir mi respuesta, pero siempre fracaso. $$5 = -\frac{b}{2a} \Rightarrow b=-10a$$ $$\frac{1}{2}= -\frac{-b^2+4ac}{4a} \Rightarrow c=\frac{-49}{8}$$ $$\tan 45=\frac{\frac{1}{2}}{x}\Rightarrow x=\frac{1}{2} $$

Por lo tanto, puedo decir que $x_1=5-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$ y $x_x=5+\frac{1}{2}=\frac{11}{2}$

Después de eso no sé realmente cuáles deben ser mis próximos pasos. Ni siquiera estoy seguro de que sean correctos...

Answer 1

En esta respuesta, me centraré en los casos en los que el eje de la parábola es horizontal o vertical. En primer lugar, considero el caso en que la parábola tiene un eje vertical, es decir, paralelo a la $y $ -eje. Definir la ecuación de la parábola como $y=ax^2+bx+c $ . Su derivado $2ax+b \ $ debe ser cero para $x=5 \ $ , por lo que tenemos $a=-b/10 \ $ . Además, como la parábola cruza el vértice $(5,1/2) \ $ tenemos $1/2=-b/10 \cdot 5^2 + 5b + c \ $ que lleva a $c=\frac {1}{2}- \frac {5}{2} b \ $ . Así que la ecuación de la parábola puede reescribirse como $$y=- \frac {b}{10} x^2 +bx + \frac {1}{2} - \frac {5}{2} b \ $$

Configuración $y=0$ obtenemos que los puntos en los que la parábola cruza la $x $ -vienen dadas por las dos soluciones de la ecuación $$ -\frac {b}{10} x^2 -\frac {3}{2} bx +1/2=0 \ $$ que vienen dados por $x=5 \pm \sqrt {\frac {5}{b}} \ $ . En estos puntos, la derivada $ 2ax+b =-\frac {1}{5} bx+b \ $ debe ser igual a $\pm 1$ (porque la parábola cruza la $x $ -eje en $45^o$ ), por lo que obtenemos las dos ecuaciones

$$-\frac {b}{5} (5 - \sqrt {\frac {5}{b}} ) +b=1$$ $$- \frac {b}{5} (5 + \sqrt {\frac {5}{b}} ) +b=-1$$

cuya solución es $b=5$ . Entonces $a=-1/2$ , $c=-12$ y la ecuación de la parábola es

$$y=-\frac {1}{2}x^2+5x-12 \ $$

Entre los cinco puntos previstos en las posibles respuestas, sólo el punto $(-2,-24) \ $ es atravesada por esta parábola.

También podemos repetir los mismos pasos para el caso en que el eje de la parábola sea horizontal. El mismo procedimiento conduce a las dos parábolas siguientes:

$$ x=y^2-y+5+1/4$$ $$ x=-y^2+y+5-1/4$$

Sin embargo, en este caso ninguno de los cinco puntos previstos en las posibles respuestas es atravesado por las parábolas. Por último, hay que tener en cuenta que podrían resultar otras posibles soluciones considerando parábolas oblicuas. En este caso, es probable que podamos obtener soluciones múltiples, es decir, un conjunto de parábolas que haga que diferentes respuestas (entre las cinco proporcionadas) sean potencialmente válidas.