¿Cómo puedo integrar $\cos(\sin(x)) dx$ , $0<x<\arccos(y)$ ?

Question

¿Cómo puedo integrar $\cos(\sin(x)) dx$ , $0<x<\arccos(y)$ ? Realmente no tengo ni idea de por dónde empezar.

Answer 1

No es fácil integrar la función $\cos(\sin(y))$ . Por lo tanto, si se cambia el orden de integración la integral doble se puede evaluar fácilmente. Esto da

$$ \int_{0}^{1}\int_{0}^{\rm cos^{-1}(x)}\cos(\sin(y)) dy\,dx = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\cos(y)}\cos(\sin(y)) dx dy$$

$$ = \int_{0}^{\pi/2}\cos(\sin(y)) \cos(y) dy= \sin(\sin(y))|_{0}^{\pi/2}=\sin(1) $$

La última integral se puede evaluar mediante la sustitución $u=\sin(y)$ .

Answer 2

Obsérvese que podemos escribir

$$\cos{(\sin{x})} = J_0(1) + 2 \sum_{k=1}^{\infty} J_{2 k}(1) \cos{2 k x}$$

donde $J_n$ es el Función de Bessel del primer tipo de $n$ El orden . Se trata de una serie de Fourier bien conocida y puede derivarse de la relación

$$\int_0^{2 \pi} dt \: e^{i (a\sin{t} - n t)} = 2 \pi J_n(a)$$

Entonces

$$\int_0^{\arccos{y}} dx \: \cos{(\sin{x})} = J_0(1) \arccos{y} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{J_{2 k}(1)}{k} \sin{\left ( 2 k \arccos{y} \right )}$$