Algunas de sus preguntas me parecen ligeramente mal planteadas, así que le ruego que me ayude a aclararlas si mi respuesta no le sirve.
En cuanto al grupo fundamental: sí, dado un complejo CW -los ejemplos que das, por ejemplo-, siempre puedes calcular una presentación para el grupo fundamental de la siguiente manera. Escribe $X$ para el complejo CW y $X^1$ por su $1$ -esqueleto (los bordes). Principalmente por comodidad, vamos a suponer que el $1$ -esqueleto de $X$ es conectado; en cualquier caso es un grafo. El colapso de un árbol máximo en el $1$ -produce una identificación con el grupo libre, es decir, el generadores del grupo fundamental corresponden más o menos de la manera que usted observó, a la bucles en el $1$ -Esqueleto.
Ahora, cada vez que pegamos un $2$ -El efecto es hacer que el bucle (o la palabra en los generadores) sea nulo y, por tanto, trivial en el grupo fundamental. Es un teorema (véase el capítulo 1 de la obra de Hatcher Topología algebraica para básicamente todo esto) que añadir celdas de mayor dimensión no cambia el grupo fundamental.
En realidad, ¡también es posible ir en sentido contrario! A cada presentación finita, puede seguir este proceso para construir un $2$ -complejo con grupo fundamental igual al grupo dado por esa presentación. (Creo que este es un ejercicio del capítulo 1 de Hatcher).
Los grupos suelen tener muchos conjuntos generadores y muchas presentaciones, por lo que no está claro cómo coinciden los grupos y los espacios. De hecho, en general no se puede decidir algorítmicamente si una presentación finita dada presenta realmente el grupo trivial.
En cuanto a la homología, quizá ya sepas que el primer grupo de homología de un espacio (con coeficientes integrales) no es más que la abelianización de su grupo fundamental. Los generadores del grupo fundamental, por tanto, generan (como ciclos, no bucles) la abelianización, pero normalmente puede haber alguna redundancia en este conjunto generador.
Por último, para grupos de homotopía superiores, esta perspectiva parece romperse un poco: la $n$ grupo de homotopía de un complejo CW es determinado por el $n+1$ -pero, por ejemplo, las esferas tienen grupos de homología superior un tanto extraños que no me parece que surjan naturalmente de la descripción de una esfera como complejo CW. Para los grupos de homología superior, existe la homología celular, que hace consiguen continuar en esta línea, con el inconveniente de que se hace más difícil hacer cálculos explícitos una vez que se pierde el orden cíclico.
Sólo para terminar volviendo a la tierra un poco, sí, hay muchos polígonos fundamentales para el doble toro. el de la palabra $aba^{-1}b^{-1}cdc^{-1}d^{-1}$ destaca el hecho de que el doble toro es la conexión-suma de dos toros. Otros pueden expresar otra característica del doble toro, como realizarlo como un superficie de traducción .
