Integral de cálculo $\int_0^1 |x-a| \, {\rm d} x$

Question

Tengo la siguiente pregunta para un seminario y no encuentro la información pertinente para resolverla.

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Resolver la integral para todos $a \in \mathbb R$ $$I(a)=\int_0^1 |x-a| \, {\rm d} x$$

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Entiendo que tengo que tratar el valor absoluto de la función $f(x)=|x-a|$ en función del cuándo $x$ es menor o mayor que $a$ , si $a$ si tuviera un valor definido podría haber resuelto esto, pero ahora estoy atascado porque no sé cómo relacionar su valor no especificado para encontrar una solución para la integral.

Se agradece cualquier ayuda que me indique la dirección correcta.

Answer 1

Sustituir $u=x-a$ . Esto nos dará $\mathrm{d}x=\mathrm{d}u$ y $$\int\limits_{-a}^{1-a}\lvert u\rvert\,\mathrm{d}u.$$ Ahora integra por partes. Elija $f'=1$ y $g=\lvert u \rvert$ : $$\int\limits_{-a}^{1-a}\lvert u\rvert\,\mathrm{d}u = u\lvert u\rvert-\int\limits_{-a}^{1-a}\lvert u\rvert\,\mathrm{d}u.$$ Estas dos integrales son iguales. Esto significa que $$\int\limits_{-a}^{1-a}\lvert u\rvert\,\mathrm{d}u=\frac{u\lvert u\rvert}{2}\Bigg\lvert^{1-a}_{-a}.$$ Ahora sólo hay que introducir los valores de $u$ y obtendrá la solución para $a\in\mathbb{R}$ : $$\frac{(1-a)\lvert 1-a\rvert+a\lvert a\rvert }{2}$$

Answer 2

Calcule la integral para $a < 0$ , $a \in [0,1]$ y $a > 1$ . La solución es

$$I (a) = \begin{cases} \frac12 - a & \text{ if } a < 0\\\\ \frac12 - a + a^2 & \text{ if } a \in [0,1]\\\\ a - \frac12 & \text{ if } a > 1\end{cases}$$

Answer 3

Bienvenido a MSE. $$\int |x-a|dx=\dfrac{\left(x-a\right)\left|x-a\right|}{2}+C$$ también se puede reescribir como $$I(a)=\int_0^1 |x-a|dx=\dfrac{a\left|a\right|}{2}-\dfrac{\left|a-1\right|a-\left|a-1\right|}{2}$$

Answer 4

El integrando es una función de valor absoluto y cambiando $a$ corresponden a la traslación horizontal de la función $|x|$ . La mejor manera de explicarlo es visualmente:

Creo que es bastante práctico visualizar la integral para una variedad de $a$ valores. Para todos los valores reales de $a$ en $(-\infty,0)\cup (1,\infty)$ la forma del área dada por la integral es trapezoidal. Por otra parte, para todos los valores reales de $a$ en el intervalo cerrado $[0,1]$ El área se compone de triángulos. A la vista de esto, podemos evaluar la integral utilizando fórmulas de área.

• Para los valores de $a \in (-\infty,0)$ el área delimitada por la función integrante y la línea vertical $x=1$ es trapezoidal. Está dada por: $$\begin{align}\frac{|-a|+|1-a|}{2} &=\frac{(-a)+(1-a)}{2} \\ &=\frac{1-2a}{2} \\ &=\frac{1}{2}-a \\ \end{align}$$
• Para los valores de $a \in (1,\infty)$ el área delimitada por la función integrante y la línea vertical $x=1$ es de nuevo trapezoidal. Está dada por: $$\begin{align} \frac{|-a|+|1-a|}{2} &=\frac{(a)+(-1+a)}{2} \\ &=\frac{2a-1}{2} \\ &=a-\frac{1}{2} \\ \end{align}$$
• Para los valores de $a \in [0,1]$ el área viene dada por la suma de las áreas de los triángulos: $$\begin{align} \frac{|-a|a}{2}+\frac{(1-a)|1-a|}{2} &=\frac{a^2}{2}+\frac{1-2a+a^2}{2} \\ &=\frac{1}{2}-a+a^2 \\ \end{align}$$ Finalmente, la integral resultante se expresa como

$$I(a)=\int_{0}^{1} |x-a|\space dx= \begin{cases} a-\frac{1}{2},\space \space \forall a\gt 1 \\ \frac{1}{2}-a+a^2,\space \space \forall a \in [0,1] \\ \frac{1}{2}-a, \space \space \forall a\lt 0 \end{cases}$$