¿Cómo lo demuestran?
$$3\int_0^1 \frac{\tan^{-1}(x)}{x}-2\int_0^{1/2} \frac{\tan^{-1}(x)}{x}-\int_0^{1/3} \frac{\tan^{-1}(x)}{x}-\frac 12 \int_0^{3/4} \frac{\tan^{-1}(x)}{x}=\frac{\pi\log 2}{2}$$
No tengo ni idea de por dónde empezar. ¿Alguna idea?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
sciona
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No es una respuesta: (no cabía en la caja de comentarios)
La función $\displaystyle \operatorname{Ti_2}(w) = \int_0^w \frac{\tan^{-1} t}{t}\,dt$ satisface
$\displaystyle \operatorname{Ti_2}\left(\frac{w^2}{2}\right) + \frac{1}{2}\operatorname{Ti_2}\left(\frac{w(w+2)}{2+2w}\right)+\frac{1}{2}\operatorname{Ti_2}\left(\frac{2w-2}{w(2-w)}\right)+\operatorname{Ti_2}\left(\frac{w}{w+2}\right) - \operatorname{Ti_2}\left(\frac{w}{2-w}\right)+\operatorname{Ti_2}\left(\frac{1}{1+w}\right) - \operatorname{Ti_2}\left(w-1\right) = 2\operatorname{Ti_2}\left(1\right)+\frac{\pi}{4}\log \frac{w(2-w)}{2+2w}$
para $w \in (0,2)$ . Su caso corresponde a $w = 1$ .
