Multiplicidades en el teorema de Plancherel para SL2(R)

Question

La formulación habitual del teorema de Plancherel se escribe $f(1)$ como una integral sobre el dual $\widehat G$ . El soporte de la medida es el conjunto de representaciones que se dan débilmente en $L^2(G)$ . Pero este teorema no da ninguna multiplicidad. Por ejemplo, dejemos que $D$ sea una representación en serie discreta de $G=SL_2({\mathbb R})$ entonces el $G\times G$ representación $D\otimes D^*$ es una subrepresentación de $L^2(G)$ . ¿Cuál es su multiplicidad? Entonces, ¿cuál es la dimensión del espacio $$ \mathrm{Hom}_{G\times G}(D\otimes D^*,L^2(G))? $$ Asimismo, cuáles son las multiplicidades de las integrales continuas de Hilbert correspondientes al resto del espectro. Estoy buscando un artículo que dé las $G\times G$ descomposición de $L^2(G)$ .

Answer 1

Estas multiplicidades son todas 1. Teorema abstracto de Plancherel (en, por ejemplo, las álgebras C* de Dixmier, 18.8.1):

$L^2(G)=\int_{\hat G}^\oplus H_\pi\otimes H_\pi^*\,d\mu(\pi)$ para la medida de Plancherel $\mu$ en cualquier loc. compacta unimodular de tipo I $G$ .