¿Cómo demostrar que es un espacio de Banach o no?

Question

Consideramos el espacio de Banach de todas las funciones continuas sobre $X$ tal que para cada $f$ en el espacio, \begin{equation*} ||f||=\sup_{x\neq y}\frac{\left\vert f(x)-f(y)\right\vert }{\left\vert x-y\right\vert }. \end{equation*}

¿Cómo puedo demostrar que es un espacio de Banach?

Answer 1

$m$ no es una norma en el conjunto de la función continua en $[0, 1]$ con $f(0)=0$ porque no todas las funciones continuas sobre $[0, 1]$ son Lipschitz. Por ejemplo, tomemos $f(x)=\sqrt{x}$ . Es continuo, $f(0)=0$ pero $$\frac{|\sqrt{x}-\sqrt{y}|}{|x-y|}=\frac{1}{|\sqrt{x}+\sqrt{y}|}$$ Y tomando $x=0$ , obtenemos que $$m(f)\geqslant \lim_{y \to 0+0} \frac{1}{\sqrt{y}}=+\infty$$

Answer 2

Supongamos que $\{f_n\}$ es una secuencia de Cauchy en $(CL^0,\|\cdot\|_{CL^0})$ . Entonces

• $\{f_n\}$ está acotado (en el $\|\cdot\|_\infty$ norma), y
• $\{f_n\}$ es equicontinuo.

Para ver el primer punto, dejemos $M:=\sup_n\|f_n\|_n$ que es finito. Para cualquier $n$ , uno tiene $$|f_n(x)|=|f_n(x)-f_n(0)| \le m(f_n)|x-0| \le M|x|\le M,$$

así que $\|f_n\|_\infty \le M$ . Para ver el segundo punto, fija $\epsilon>0$ y que $\delta:=\epsilon/M$ . Entonces, para todos los $n$ y todos $x,y\in[0,1]$ Si $|x-y|<\delta$ entonces $$|f_n(x)-f_n(y)| \le m(f_n)|x-y| \le M\delta = \epsilon.$$

Del teorema de Arzela-Ascoli se deduce que $\{f_n\}$ tiene una subsecuencia uniformemente convergente, es decir, existe $\{n_k\}$ y una función continua $f$ tal que $f_{n_k}\to f$ uniformemente. Por supuesto, inmediatamente tenemos $f(0)=0$ y $m(f) \le M$ Así que $f\in CL^0$ . Queda por demostrar $f_{n_k} \to f$ en $\|\cdot\|_{CL^0}$ .

Fijar $\epsilon>0$ . Existe $K$ tal que $\|f_{n_j}-f_{n_k}\|_{CL^0} < \epsilon/3$ para todos $j,k\ge K$ . Ahora dejemos que $x,y\in[0,1]$ con $x\neq y$ . Desde $f_{n_k}\to f$ uniformemente, existe $K^{x,y} \ge K$ tal que $\|f_{n_{K^{x,y}}}-f\|_\infty < \epsilon|x-y|/3$ . De ello se deduce que, si $k\ge K$ , \begin{align*} &\frac{|(f_{n_k}-f)(x) - (f_{n_k}-f)(y)|}{|x-y|} \\ &\qquad\qquad\qquad\le \frac{|(f_{n_k}-f_{n_{K^{x,y}}})(x) - (f_{n_k}-f{n_{K^{x,y}}})(y)|}{|x-y|} + \frac{|(f_{n_k}-f)(x) - (f_{n_k}-f)(y)|}{|x-y|} \\ &\qquad\qquad\qquad\le \|f_{n_k}-f_{n_{K^{x,y}}}\|_{CL^0} + \frac{2\|f_{n_k}-f\|_\infty}{|x-y|} \\ &\qquad\qquad\qquad\le \frac{\epsilon}3 + \frac{2\epsilon}3 = \epsilon. \end{align*} Lo más importante es que, como $K$ no depende de $x$ o $y$ podemos tomar el supremum sobre $x,y\in[0,1]$ con $x\neq y$ y concluir que, si $k\ge K$ , $$\|f_{n_k}-f\|_{CL^0} \le \epsilon.$$

Answer 3

En general, es bastante difícil adivinar si un espacio está completo o no. Normalmente puedes intentar describir la propiedad que define tu norma/funciones en términos geométricos e intentar ver si puedes construir una secuencia de funciones en tu espacio de forma que su límite puntual rompa la propiedad que define tu espacio. Si no puedes encontrar tal cosa, puedes intentar demostrar que tu espacio es completo y ver qué obtienes. Si encuentras una obstrucción en tu prueba, entonces puedes intentar ver si esa obstrucción puede ayudar a construir un contraejemplo. Es un proceso de ida y vuelta, se necesita mucha experimentación.

En este caso concreto, aconsejaría probar que el límite puntual está en su espacio. El teorema de Arzela-Ascoli podría ser útil.