Encontrar el valor propio det(λI - A);

Question

Quiero saber si lo que estoy haciendo para derivar la ecuación (2) de (M2) es correcto o no; normalmente, antes de pasar a la siguiente fila en la eliminación de Guass-Jordan convertimos a_11 en uno principal o lo que sea necesario para obtener unos principales, pero quiero saber si puedo multiplicar una determinada fila con un valor (aunque no haya unos principales en dicha fila) y añadirlo a otra fila, por ejemplo, multiplicando la fila 1 de (M2) por $\left(\frac{8}{-3}\right)$ y añadiendo eso a la fila 2 de la misma matriz, para producir (M3). ¿Es esto correcto? Porque no se me ocurre otra forma de obtener la ecuación (2).

Answer 1

Deseamos calcular $\det(\lambda I-A)$ donde $$\begin{align*} I&=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} & A&= \begin{bmatrix}3&0\\8&-1\end{bmatrix} \end{align*}$$ Keeping the formula $$\det\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}=ad-bc$$ en mente, podemos calcular nuestro determinante directamente \begin{align*} \det(\lambda I-A) &=\det\left(\lambda $$\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$$ - $$\begin{bmatrix}3&0\\8&-1\end{bmatrix}$$ \derecha) &=det\\\\a la izquierda( $$\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&\lambda\end{bmatrix}$$ - $$\begin{bmatrix}3&0\\8&-1\end{bmatrix}$$ \right) \\ &= \det $$\begin{bmatrix}\lambda-3& 0-0\\ 0-8&\lambda-(-1)\end{bmatrix}$$ \\ &=\det $$\begin{bmatrix}\lambda-3& 0 \\ -8& \lambda+1\end{bmatrix}$$ \\ &= (\lambda-3)(\lambda+1)-(-8)(0) \\N - (\lambda+1) &= (\lambda-3)(\lambda+1) \fin {align*} que da la expresión deseada.

Answer 2

Aviso, el método es sencillo $$\lambda I=\lambda\begin{bmatrix}1&0 \\0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda&0 \\0&\lambda \end{bmatrix}$$ & $$A=\begin{bmatrix}3&0 \\8&-1 \end{bmatrix}$$ $$\implies \lambda I-A=\begin{bmatrix}\lambda&0 \\0&\lambda \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3&0 \\8&-1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda-3&0 \\-8&\lambda+1 \end{bmatrix}$$ Ahora, para calcular los valores propios tenemos $$|\lambda I-A|=0$$ $$\implies \left|\begin{matrix}\lambda-3&0 \\-8&\lambda+1 \end{matrix}\right|=0$$ $$\implies \color{blue}{(\lambda-3)(\lambda+1)=0}$$ Obviamente, su derivación de la ecuación (2) a partir de ( $M_2$ ) es correcto.