Problemas relacionados con mapeos complejos y lineales

Question

Como no he podido ni siquiera resolver la parte 1, no tengo ni idea de la parte 2 ( pensaba $K$ y $A$ son idénticos, pero aparentemente no lo son). Esta es la cuestión:

• Dejemos que $V_1 =\mathbb{C^n}$ con el producto interior $<x,y> = y^*x$

• Dejemos que $V_2 = \mathbb{R^{2n}}$ con el producto interior $<u,v> = v^Tu$

• Dejemos que $z$ sea un mapeo desde $\mathbb{C^n}$ a $ \mathbb{R^{2n}}$ , donde: $z(x) =$ $$\begin{bmatrix}Re(x)\\Im(x)\end{bmatrix}$$

• Dejemos que $A \in \mathbb{C^{n*n}}$ definen un mapeo lineal $f:\mathbb{C^n} \rightarrow \mathbb{C^n}$ s.t para cualquier $x \in \mathbb{C^n}$ , $f(x) = Ax$

• Dejemos que $g: \mathbb{R^{2n}} \rightarrow \mathbb{R^{2n}}$ es el mapeo correspondiente a $f$ s.t para cualquier $x \in V_1$ $g(z(x)) = z(f(x))$

Ahora podemos escribir la cartografía lineal $g$ explícitamente como: $g(u) = Ku$ , $u \in \mathbb{R^{2n}}$

Pregunta:

1) Escriba $K$ en términos de A.

2) Si $K$ es hermético, ¿qué podemos decir de la relación entre él y $A$ ¿los valores propios y los vectores propios?

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He resuelto la primera parte:

$K$ = $$\begin{bmatrix}A & 0\\0 & A\end{bmatrix}$$

¿alguna idea sobre la segunda parte?

Answer 1

Tenga en cuenta que $A = \operatorname{Re}A +i\operatorname{Im}A$ . También $$z(x) = \begin{bmatrix}\operatorname{Re}x\\\operatorname{Im}x\end{bmatrix}\qquad z^{-1}\left(\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix}\right) = v_1 + iv_2$$ Así que, como $K = z\circ A\circ z^{-1}$ , $$\begin{align}K\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix} &= zAz^{-1}\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix}\\ &= z(A\operatorname{Re}A +i\operatorname{Im}A)(v_1 + iv_2)\\ &=z\left((\operatorname{Re}(A)v_1 - \operatorname{Im}(A)v_2) + i(\operatorname{Im}(A)v_1 + \operatorname{Re}(A)v_2)\right)\\ &=\begin{bmatrix}\operatorname{Re}(A)v_1 - \operatorname{Im}(A)v_2\\\operatorname{Im}(A)v_1 + \operatorname{Re}(A)v_2\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}\operatorname{Re}A & - \operatorname{Im}A\\ \operatorname{Im}A & \operatorname{Re}A\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix} \end{align}$$ Por lo tanto, $$K = \begin{bmatrix}\operatorname{Re}A & -\operatorname{Im}A\\ \operatorname{Im}A & \operatorname{Re}A\end{bmatrix}$$

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Desde $K$ es real, hermitiana = simétrica. Así que $$\begin{bmatrix}(\operatorname{Re}A)^T & (\operatorname{Im}A)^T\\ -(\operatorname{Im}A)^T & (\operatorname{Re}A)^T\end{bmatrix} = K^T = K = \begin{bmatrix}\operatorname{Re}A & -\operatorname{Im}A\\ \operatorname{Im}A & \operatorname{Re}A\end{bmatrix}$$ Así que $\operatorname{Re}A$ es simétrico y $\operatorname{Im}A$ es simétrica. Ahora $$A^* = (\operatorname{Re}A)^T -i(\operatorname{Im}A)^T = \operatorname{Re}A +i\operatorname{Im}A = A$$ Por lo tanto, $K$ es hermético $\implies$ $A$ es hermético, y por lo tanto los valores propios de $A$ son reales. Ahora bien, si $\lambda$ es real, entonces $z(\lambda x) = \lambda z(x)$ . Así que $$Ax = \lambda x \iff z(Ax) = z(\lambda x)\iff Kz(x) = \lambda z(x)$$ Así que los valores propios de $A$ y $K$ son iguales, y sus eigenspaces son las imágenes de cada uno bajo las transformaciones $z$ y $z^{-1}$ .