¿Existe una solución exacta para la ecuación diferencial? $\frac{d^2x}{dt^2} = -a\sinh(x)$ ?

Question

Me preguntaba si la ecuación $\frac{d^2x}{dt^2} = -a\sinh(x)$ tenía una solución exacta porque la ecuación diferencial $\frac{d^2x}{dt^2} = -a\sin(x)$ tiene una solución exacta por medio de la integral elíptica.

Esto me lleva a creer que, como $\sinh(x) = -i\sin(ix)$ , $\frac{d^2x}{dt^2} = -a\sinh(x)$ debería tener una solución similar. ¿Es así?

Answer 1

Sí: Si $x = f(t)$ satisface $f''(t) = -a\sin[f(t)]$ entonces $y = -i\, f(t)$ satisface $$ \frac{d^{2}y}{dt^{2}} = -if''(t) = ia\sin[f(t)] = ia\sin(iy) = -a\sinh(y). $$